[論文レビュー] Twisted compactifications of 3d N = 4 theories and conformal blocks

Davide Gaiotto|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、リーマン面への3次元 $σ=4$ 理論のねじれ compactification における supersymmetric な基底状態の空間が、非ユニタリな頂点演算子代数（VOA）の conformal block と同型であると提唱する。このVOAは、UVのラグランジュ記述またはその鏡像から構成され、IRにおける対称性（例えば、強化されたglobal symmetry）を記述でき、$T[SU(N)]$ 理論の基底状態をCFT的に記述するための核となる。これは、幾何学的ラングランズ双対性の枠組みにおいて重要である。

ABSTRACT

Three-dimensional N = 4 supersymmetric quantum field theories admit two topological twists, the Rozansky-Witten twist and its mirror. Either twist can be used to define a supersymmetric compactification on a Riemann surface and a corre- sponding space of supersymmetric ground states. These spaces of ground states can play an interesting role in the Geometric Langlands program. We propose a description of these spaces as conformal blocks for certain non-unitary Vertex Operator Algebras and test our conjecture in some important examples. The two VOAs can be constructed respectively from a UV Lagrangian description of the N = 4 theory or of its mirror. We further conjecture that the VOAs associated to an N = 4 SQFT inherit properties of the theory which only emerge in the IR, such as enhanced global symmetries. Thus knowledge of the VOAs should allow one to compute the spaces of supersymmetric ground states for a theory coupled to supersymmetric background connections for the full symmetry group of the IR SCFT. In particular, we propose a conformal field theory description of the spaces of ground states for the T[SU(N)] theories. These theories play a role of S-duality kernel in maximally supersymmetric SU(N) gauge theory and thus the corresponding spaces of supersymmetric ground states should provide a kernel for the Geometric Langlands duality for special unitary groups.

研究の動機と目的

• UVラグランジュ記述では見えない隠れたIR対称性の影響を受けても有効である、3次元 $σ=4$ SQFTのねじれcompactificationにおける supersymmetric 基底状態の特徴づけを提供すること。
• これらの基底状態の空間が、UVラグランジュデータまたはその鏡像から構成される非ユニタリVOAの conformal block と同型であると提唱すること。
• 特に、IR対称性の強化が知られているユニタリ群の線形クオーラスゲージ理論を含む主要な例において、この提唱を検証すること。
• VOA、conformal block、および幾何学的ラングランズ双対性の文脈におけるChan-Paton bundle 間の物理的かつ数学的橋渡しを確立すること。
• 非ユニタリVOAにおけるconformal blockの洗練された取り扱いのため、導来代数幾何学の使用を動機づけること、特にBAAおよびBBB brane の文脈で。

提案手法

• 3次元 $σ=4$ SQFTのリーマン面上へのcompactificationのための2つのトポロジカルtwist（H-twist（Rozansky-Witten）およびC-twist（鏡像））の使用により、1次元 ${σ}=4$ 量子力学が得られる。
• supersymmetric 基底状態の空間 ${\cal H}_H[T,C]$ を、非ユニタリと予想される頂点演算子代数 ${\mathbb{A}}_H[T]$ の conformal block と同一視すること。
• 3次元理論のUVラグランジュ記述またはその鏡像からVOAを構成し、その対称性がSCFTのIR global symmetry と一致することを保証すること。
• ホロモーフィック作用 $\langle Z, \bar{\partial}_E Z \rangle$ を用いた経路積分形式主義により、$\operatorname{Bun}(G,C)$ 上のD加群およびconformal blockを定義し、コホモロジー的解釈を与えること。
• 導来圏を用いたconformal blockの形式的取り扱いにより、$\hbar$-変形された微分を持つ微分形式の複体としてモデル化し、Ward恒等式を保証すること。
• セーディング構成およびモード展開（例：$Z^{(i)}_{-n-1/2}$）を用いて、無限次元の経路積分を、分岐点における有限次元ガウス積分に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $σ=4$ SQFTをリーマン面上にcompact化した場合、その supersymmetric 基底状態の空間は、非ユニタリな頂点演算子代数の conformal block として記述可能か？
• RQ2 3次元 $σ=4$ 理論に関連するVOAは、UVラグランジュ記述には見えないIRで強化されたglobal symmetry を記述できるか？
• RQ3 スピンボソンのconformal blockは、ゼロモードの数の変化に対してどのように変化するか？また、そのコホモロジー的構造はいかなるものか？
• RQ4 幾何学的ラングランズ双対性におけるBAAおよびBBB brane のChan-Paton bundle は、3次元 $σ=4$ 理論から生じるVOAのconformal blockとして物理的に実現可能か？
• RQ5 この文脈において、導来代数幾何学は、非ユニタリVOAのconformal blockを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 3次元 $σ=4$ SQFTのH-twistに対する supersymmetric 基底状態の空間 ${\cal H}_H[T,C]$ は、非ユニタリな頂点演算子代数 ${\mathbb{A}}_H[T]$ の conformal block の空間と同型であると提唱される。
• $T[SU(N)]$ 理論において、提案されたVOA記述は、$SU(N)$ 群の幾何学的ラングランズ双対性のCFT的核を提供する。
• UVラグランジュ記述またはその鏡像から構成されるVOAは、IR global symmetry を継承すると予想され、特に $T[SU(N)]$ では強化された $SU(N)$ フレーバー対称性が含まれる。
• ボソン的ゼロモードを含む有限次元のトロイモデルでは、経路積分測度がコホモロジー的に自明でない形式に置き換えられ、$-1$ 次元で非自明なコホモロジーが生じることを示す。
• スピンボソンのconformal blockは、$\hbar$-変形された微分を持つ微分形式の複体としてモデル化され、Ward恒等式が保証され、形式的に閉じている。
• 完全なconformal block構造は、分岐点におけるゼロモードのガウス積分に還元可能であり、D加群構造の簡略化された、有限次元の記述が可能であることを示唆する。