[論文レビュー] Twisted conjugacy classes in residually finite groups

Alexander Fel’shtyn, Evgenij Troitsky|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 68被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限生成で再帰的に有限な群に対して、 twisted Burnside-Frobenius 定理を確立し、自己同型 $\phi$ の twisted 共役類の数が、$\phi$ の双対作用の下での固定された有限次元ユニタリ表現の数に等しいことを証明する。さらに、すべての有限生成で再帰的に有限な非アメーブル群が $R_{\infty}$ 性質を持つことを示し、これはすべての自己同型が無限個の twisted 共役類を持つことを意味し、このような群のクラスを顕著に拡張する。

ABSTRACT

We prove for residually finite groups the following long standing conjecture: the number of twisted conjugacy classes of an automorphism of a finitely generated group is equal (if it is finite) to the number of finite dimensional irreducible unitary representations being invariant for the dual of this automorphism. Also, we prove that any finitely generated residually finite non-amenable group has the R-infinity property (any automorphism has infinitely many twisted conjugacy classes). This gives a lot of new examples and covers many known classes of such groups.

研究の動機と目的

• 有限生成で再帰的に有限な群に対して、Burnside-Frobenius 定理の twisted 同型を確立すること。
• 長年の予想である、Reidemeister 数 $R(\phi)$ が $\phi$ の双対作用 $\widehat{\phi}$ による有限次元ユニタリ双対上の固定点の数に等しいという問題を解決すること。
• 有限生成で再帰的に有限な群のクラスにおける $R_{\infty}$ 群を特徴づけること。
• twisted 共役、表現論、およびアメーブル性や再帰的有限性といった群の性質を結びつける統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• twisted Burnside-Frobenius 理論の双対空間として、有限次元非可約ユニタリ表現の双対 $\widehat{G}_f$ を用いる。
• Peter-Weyl 定理と Schur の補題を適用し、$R(\phi)$ を $\widehat{G}_f$ 上の誘導写像 $\widehat{\phi}$ の固定点に関連付ける。
• 再帰的有限性を活用して、有限商群からの性質の持ち上げを行い、表現不変性を介して twisted 共役類を分析する。
• 弱収束と行列係数の技法を用いて、$\widehat{G}_f$ 上の双対作用 $\widehat{\phi}$ を研究する。
• Gauss の合同式と Möbius の反転を用いて、twisted Burnside-Frobenius 定理から動的帰結を導出する。
• 正確な列や部分群の性質を含む構造的群論の応用により、ブレード群、曲面群、Artin 群を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で再帰的に有限な群における自己同型 $\phi$ の twisted 共役類の数 $R(\phi)$ は、$\widehat{\phi}$ の下で固定される有限次元ユニタリ表現の数に等しいか。
• RQ2 有限生成で再帰的に有限などの群が $R_{\infty}$ 性質（すべての $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$）を満たすか。
• RQ3 twisted Burnside-Frobenius 定理は、ほぼ多可解群の範囲を超えて、メタアーベル群や制限付きワルフィング積のクラスへ拡張可能か。
• RQ4 アメーブル性は、再帰的に有限な群における $R_{\infty}$ 性質を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 $\mathbb{Z}^n$、自由ニルポテンツ群、メタアーベル群などの群の Reidemeister スペクトルは、$\widehat{G}_f$ 上の $\widehat{\phi}$ の固定点とどのように関係するか。

主な発見

• すべての有限生成で再帰的に有限な群に対して twisted Burnside-Frobenius 定理が成り立つ：$R(\phi) < \infty$ のとき、$R(\phi)$ は $\widehat{G}_f$ 内の $\widehat{\phi}$-固定点の数に等しい。
• すべての有限生成で再帰的に有限な非アメーブル群は $R_{\infty}$ 性質を持つ。これは、すべての自己同型が無限個の twisted 共役類を持つことを意味する。
• $\mathbb{Z}^n$ の Reidemeister スペクトルは $n \geq 2$ のとき $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ であり、離散ヘイゼンベルク群 $N_{22}$ のそれは $2\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ である。
• メタアーベル群 $\mathbb{Z}[1/p]^2 \rtimes_\theta \mathbb{Z}$ の Reidemeister スペクトルは $\theta$ の固有値に依存し、$r, s \in \{\pm 1\}$ の異なる場合に異なるスペクトルを示す。
• 純ブレード群 $P_n(\Sigma)$ は、$\Sigma$ が境界付きで genus $\geq 1$ または閉じた曲面で $n \geq 3$ のとき、非アメーブル性と再帰的有限性により $R_{\infty}$ 性質を満たす。
• 再帰的に有限でない群、例えば Osin の群や Ivanov の群は、十分な有限次元表現を欠いているため、twisted Burnside-Frobenius 定理を満たさない。