[論文レビュー] Twisted conjugacy in Richard Thompson's group T

Daciberg Lima Gonçalves, Parameswaran Sankaran|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、リチャード・トマプソンの群 T が $R_{u}$-性質を有することを証明している。これは、T の任意の自己同型が無限個のねじれ共役類を誘導することを意味する。証明は、円周上の分岐線形ホメオモルフィズムの幾何学的および力学的性質に着目し、固定点集合と移動不変量を扱う。支持集合の成分数と自己同型下での傾き・移動不変量に基づく初等的議論により、結果が確立される。

ABSTRACT

Let $f$ be an automorphism of a group $G$. Two elements $x, y$ in $G$ are said to be in the same $f$-twisted conjugacy class if there exists an element $z$ in $G$ such that $y=z x f(z^{-1})$. This is an equivalence relation known as $f$-twisted conjugacy. If the number $R(f)$ of $f$-twisted conjugacy classes is infinite for every automorphism $f$ of $G$ one says that $G$ has the $R_\infty$-property. We show that the Richard Thompson group $T$ has the $R_\infty$-property.

研究の動機と目的

• リチャード・トマプソンの群 T が $R_{\nu}$-性質を満たすことを確立すること、すなわち、すべての自己同型が無限個のねじれ共役類を持つこと。
• 類似の力学的技法を用いた後続の証明とは異なり、$R_{\nu}$-性質に対する初等的証明を提供すること。
• ホメオモルフィズムによる共役作用を通じて、一般化トマプソン群、特に $F_{n,\nu}$ および $T_{n,r}$ における $R_{\nu}$-問題への洞察を拡張すること。
• 一般化トマプソン群におけるねじれ外的自己同型が、無限個のねじれ共役類を誘導することを、無限遠における移動および傾き不変量を用いて示すこと。

提案手法

• θ-ねじれ共役の定義を用いる: $x \sim_{\theta} y$ であるとは、ある $\gamma \in T$ が存在して $y = \gamma x \theta(\gamma^{-1})$ となること。
• Brin と Guzmán の結果に基づき、T の自己同型を円周 $\mathbb{S}^1$ のホメオモルフィズム $f$ による共役作用として分析する。
• 無限遠における移動不変量 $\tau(\gamma)$ と傾き不変量 $\lambda(\gamma)$ を適用し、T の元を分類し、非共役性を検出する。
• サポート $\operatorname{supp}(f)$ と交わらない $k$-成分サポートを持つ要素 $\gamma_k$ を構成し、$\theta(\gamma_k) = \gamma_k$ かつ $\sigma(\gamma_k \cdot \gamma) = k + \sigma(\gamma)$ となることを示し、これにより異なるねじれ共役類が生じることを示す。
• 補題 3.4 を用いて、$\gamma = f^m \neq 1$ のとき、要素 $\gamma^{mk+1}$ が互いに異なる $\theta$-ねじれ共役類に属することを示す。
• 自己同型下での $\lambda(\gamma) = 1$ および $\tau(\gamma) = b \neq 0$ である事実を適用し、共役下で $rb = sb \Rightarrow r = s$ が成り立つことから、無限個の異なる類が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リチャード・トマプソンの群 T は $R_{\infty}$-性質を有するか、すなわちすべての自己同型が無限個のねじれ共役類を持つのか？
• RQ2 円周上の PL-ホメオモルフィズムの幾何学的および力学的不変量を用いて、T における $R_{\infty}$-性質を確立できるか？
• RQ3 自己同型下で、無限遠における移動および傾き不変量はどのように振る舞い、ねじれ共役類を区別するのに利用できるか？
• RQ4 T に対して用いられた技法は、一般化トマプソン群 $F_{n,\infty}$ および $T_{n,r}$ へどの程度拡張可能か？
• RQ5 外的自己同型群において非ねじれ元を表す自己同型の場合、同じ手法で無限個のねじれ共役類を検出できるか？

主な発見

• 論文は、トマプソン群 T が $R_{\infty}$-性質を有することを確立している：任意の $\theta \in \operatorname{Aut}(T)$ に対して $R(\theta) = \infty$ である。
• 証明は、$\operatorname{supp}(f)$ と交わらない $k$-成分サポートを持つ要素 $\gamma_k$ の構成に依拠しており、$\theta(\gamma_k) = \gamma_k$ かつ $\sigma(\gamma_k \cdot \gamma) = k + \sigma(\gamma)$ が成り立つことから、無限個の異なる $\theta$-ねじれ共役類が生じることを示す。
• $f^m = \gamma \neq 1$ のとき、$\gamma^{mk+1}$ が互いに異なる $\theta$-ねじれ共役類に属することを、共役下での $\tau$ および $\lambda$ の不変性を用いて示した。
• 移動不変量 $\tau(\gamma) = b \neq 0$ が鍵的である：$\gamma^r$ と $\gamma^s$ が共役であるのは $r = s$ のみであり、これにより無限個の異なる類が保証される。
• この手法は一般化トマプソン群 $F_{n,\infty}$ および $F_n$ にも適用可能であり、ねじれ外的自己同型を表す任意の自己同型に対して $R(\theta) = \infty$ が成り立つ。
• 非ねじれ外的自己同型では、この手法は失敗する。この場合、補題 3.4 の仮定を満たすような要素が存在することが保証されていないためである。