[論文レビュー] Twisted Modules over Vertex Algebras on Algebraic Curves

Edward Frenkel, Matthew Szczesny|ArXiv.org|Dec 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、軌道的コンformal場理論における conformal block のための枠組みを確立するために、頂点代数の幾何的アプローチを twisted モジュールへと拡張する。twisted モジュールは商曲線上の H-等変な層のセクションとして構成され、Lie 環作用と解析接続を用いた二つの同等な conformal block の定義が提示され、ヘイゼンバーグおよびアフィン Kac-Moody 頂点代数に対して明示的な簡略化がなされる。

ABSTRACT

We extend the geometric approach to vertex algebras developed by the first author to twisted modules, allowing us to treat orbifold models in conformal field theory. Let $V$ be a vertex algebra, $H$ a finite group of automorphisms of $V$, and $C$ an algebraic curve such that $H \subset \on{Aut}(C)$. We show that a suitable collection of twisted $V$--modules gives rise to a section of a certain sheaf on the quotient $X=C/H$. We introduce the notion of conformal blocks for twisted modules, and analyze them in the case of the Heisenberg and affine Kac-Moody vertex algebras. We also give a chiral algebra interpretation of twisted modules.

研究の動機と目的

• 軌道的 conformal field theory における orbifold モデルの座標に依存しない取り扱いを可能にするために、頂点代数の幾何的形式主義を twisted モジュールへ一般化すること。
• 代数的および解析的両手法を用いて、twisted 設定における conformal block の定義と解析を行うこと。
• 商曲線上の関連する D-加群の twist を通じて、twisted モジュールの chiral 代数的解釈を確立すること。
• twisted Lie 環を用いて、ヘイゼンバーグおよびアフィン Kac-Moody 頂点代数の conformal block の定義を簡略化すること。
• H-等変なベクトル bundle としての twisted モジュールの幾何的実現を、商曲線 X = C/H 上のセクションとして与えること。

提案手法

• 有限群 H が自己同型として作用する滑らかで射影的な曲線 C 上に H-等変なベクトル bundle VC を構成する。
• 商曲線 X = C/H を定義し、H の作用が自由となる開稠密部分集合 X∘ を取り、C∘ → X∘ が主 H バンドルであるように制限する。
• VC に付随する H-等変構造を用いて、X∘ 上のベクトル bundle VH に降下させ、twisted な頂点作用素の層を形成する。
• 各 x ∈ X に対し、x の C 上の上にある点における hₚ--twisted V-モジュールの集合として、ν⁻¹(x) 沿いの V-モジュールを定義する。これは群作用の下での整合性を満たす。
• 各 such モジュールに対し、穿孔円板 Dx× 上の双対層 VH* のセクション Yᴹˣ を関連付け、conformal block の定義を可能にする。
• twisted Lie 環 gσ_out(C_aff) がモジュールのテンソル積に作用するコインヴァリエントを用いて、conformal block を定義する。双対空間がブロック空間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道的 conformal field theory の文脈において、頂点代数の幾何的形式主義を twisted モジュールへどのように拡張できるか。
• RQ2 代数曲線上の twisted モジュールにおける conformal block の幾何的・代数的構造は何か。
• RQ3 twisted モジュールは、商曲線上の chiral 代数および D-加群とどのように関係するか。
• RQ4 twisted Lie 環を用いることで、ヘイゼンバーグおよびアフィン Kac-Moody 頂点代数の conformal block の定義を簡略化できるか。
• RQ5 頂点代数バンドル上の H-等変構造と、twisted モジュールが商曲線へ降下する関係は、どのように正確に記述できるか。

主な発見

• ν⁻¹(x) 沿いの twisted V-モジュールは、穿孔円板 Dx× 上の双対層 VH* のセクションに対応し、twisted 設定における頂点作用素の幾何的実現を可能にする。
• conformal block の空間は、Lie 環のコインヴァリエントおよび解析接続の両方で同等に定義され、[FB] の形式主義を twisted 場合へ一般化する。
• ヘイゼンバーグ頂点代数の場合、conformal block は twisted ヘイゼンバーグ代数を用いて記述され、コインヴァリエント空間の構造が単純化される。
• アフィン Kac-Moody 頂点代数 V_k(g) の場合、conformal block は、H-不変汎関数の空間と、twisted Lie 環 gσ_out(C_aff) の作用による商をとったものに同型である。
• twisted モジュールは、X∘ 上の chiral 代数 A^C̃ のモジュールに正確に対応する。ここで A^C̃ は A|X∘ を H- torsor C̃ で twist したものであり、Beilinson-Drinfeld の chiral 代数と深い関係を有する。
• Lie 環と解析的アプローチによる conformal block の二つの定義の同等性は、V_k(g) に対して証明され、[FB] の定理 7.1 を twisted 場合へ拡張する。