[論文レビュー] Twisted quadrics and algebraic submanifolds in R^n

Gaetano Fiore, Davide Franco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Advanced Differential Geometry Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、多項式方程式の等高線集合として定義される $\mathbb{R}^n$ 内の代数的部分多様体の非可換変形を、Drinfel'd ねじれと $\star$-積を用いて体系的に構成する手法を提案する。非可換な Cartan 微分幾何学が接ベクトル場に対して不変となることを確立し、ねじれが Killing ベクトル場に基づく場合には非可換な Gauss の定理が成り立つ。$\mathbb{R}^3$ 内の二次曲面の明示的変形、例えば非可換な円柱や (反-)de Sitter 空間が含まれる。

ABSTRACT

We propose a general procedure to construct noncommutative deformations of an algebraic submanifold $M$ of $\mathbb{R}^n$, specializing the procedure [G. Fiore, T. Weber, Twisted submanifolds of $\mathbb{R}^n$, arXiv:2003.03854] valid for smooth submanifolds. We use the framework of twisted differential geometry of [Aschieri et al.,Class. Quantum Gravity 23 (2006), 1883], whereby the commutative pointwise product is replaced by the $\star$-product determined by a Drinfel'd twist. We actually simultaneously construct noncommutative deformations of all the algebraic submanifolds $M_c$ that are level sets of the $f^a(x)$, where $f^a(x)=0$ are the polynomial equations solved by the points of $M$, employing twists based on the Lie algebra $\Xi_t$ of vector fields that are tangent to all the $M_c$. The twisted Cartan calculus is automatically equivariant under twisted $\Xi_t$. If we endow $\mathbb{R}^n$ with a metric, then twisting and projecting to normal or tangent components commute, projecting the Levi-Civita connection to the twisted $M$ is consistent, and in particular a twisted Gauss theorem holds, provided the twist is based on Killing vector fields. Twisted algebraic quadrics can be characterized in terms of generators and $\star$-polynomial relations. We explicitly work out deformations based on abelian or Jordanian twists of all quadrics in $\mathbb{R}^3$ except ellipsoids, in particular twisted cylinders embedded in twisted Euclidean $\mathbb{R}^3$ and twisted hyperboloids embedded in twisted Minkowski $\mathbb{R}^3$ [the latter are twisted (anti-)de Sitter spaces $dS_2,AdS_2$].

研究の動機と目的

• 非可換微分幾何学を用いて、$\mathbb{R}^n$ 内の代数的部分多様体の非可換変形を一般化する手続きを開発すること。
• 多項式方程式の等高線集合として定義される代数的多様体への非可換部分多様体の枠組みを拡張すること。
• 特に、ねじれが Killing ベクトル場に基づく場合に、計量構造の下で非可換幾何学の整合性を保つこと、特に Gauss の定理が保存されることを保証すること。
• 生成子と $\star$-多項式関係を用いて非可換な代数的二次曲面を特徴付けること。
• $\mathbb{R}^3$ 内のすべての実二次曲面（楕円面を除く）の非可換変形を明示的に計算し、非可換ユークリッド空間およびミンコフスキー空間内の円柱や双曲面が非可換 (反-)de Sitter 空間 $dS_2$ および $AdS_2$ として関連することを明らかにすること。

提案手法

• Drinfel'd ねじれから導かれる $\star$-積を用いた非可換微分幾何学の枠組みを利用する。
• すべての $M_c$ に接するベクトル場のリー代数 $\Xi_t$ によって生成されるねじれを用いて、$f^a(x) = 0$ で定義されるすべての等高線集合 $M_c$ の変形を構成する。
• 非可換 Cartan 微分幾何学を適用し、$\Xi_t$ の作用に関して不変性を保つ。
• ねじれが Killing ベクトル場に基づくことで、ねじれと計量射影の整合性を保証する。
• Levi-Civita 接続を非可換部分多様体に一貫して射影し、非可換 Gauss の定理を導く。
• アーベル的またはジョルダン型のねじれの場合に、$\star$-多項式関係と明示的な生成子を用いて非可換二次曲面を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ねじれによって誘導される $\star$-積を用いて、$\mathbb{R}^n$ 内の代数的部分多様体の非可換変形を体系的に構成できるか？
• RQ2 非可換 Cartan 微分幾何学が、部分多様体の接ベクトル場に対していつ不変性を保つのか？
• RQ3 Levi-Civita 接続を非可換部分多様体に射影する際に、いつ幾何学的整合性が保たれるのか？
• RQ4 非可換な代数的二次曲面は、$\star$-多項式関係と生成子によって完全に記述可能か？
• RQ5 $\mathbb{R}^3$ 内のすべての実二次曲面（楕円面を除く）の明示的非可換変形は何か？また、それらは (反-)de Sitter 空間とどのように関係するか？

主な発見

• 代数的部分多様体の非可換変形は、すべての等高線集合 $M_c$ に接するベクトル場のリー代数 $\Xi_t$ に作用する Drinfel'd ねじれによって構成される。
• 非可換 Cartan 微分幾何学は、$\Xi_t$ の非可換作用に関して自動的に不変であり、幾何学的整合性が保たれる。
• ねじれが Killing ベクトル場に基づく場合、ねじれと法線成分または接成分への射影が可換となり、一貫した非可換 Levi-Civita 接続が得られる。
• 同じ Killing 条件の下で非可換 Gauss の定理が成り立ち、古典的 Gauss の補題が非可換設定に一般化される。
• 非可換な代数的二次曲面は、$\star$-多項式関係と明示的な生成子によって完全に特徴付けられ、非可換幾何学の代数的記述が可能になる。
• 楕円面を除く $\mathbb{R}^3$ 内のすべての実二次曲面について、明示的な変形が計算され、非可換ユークリッド空間内の非可換円柱や、非可換ミンコフスキー空間内の非可換双曲面が非可換 (反-)de Sitter 空間 $dS_2$ および $AdS_2$ として特徴付けられる。