[論文レビュー] Twisted triple product p-adic L-functions and Hirzebruch-Zagier cycles

Michele Fornea|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全実数体の二次拡大体 L/F 上のユニタリな尖域自動形式的表現に対して、捩れた三重積 L 関数の中心値を補間する p-進 L 関数を構成する。p-進グロス＝ツァギエール公式を証明し、一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルのシントミックアーベル・ジャコビ像と p-進 L 関数を結びつける。これは、実二次体および分岐する素数の場合に、p-進 L 関数に幾何的算術的意義を与える。

ABSTRACT

Let $L/F$ be a quadratic extension of totally real number fields. For any prime $p$ unramified in $L$, we construct a $p$-adic $L$-function interpolating the central values of the twisted triple product $L$-functions attached to a $p$-nearly ordinary family of unitary cuspidal automorphic representations of $ ext{Res}_{L imes F/F}( ext{GL}_{2})$. Furthermore, when $L/\mathbb{Q}$ is a real quadratic number field and $p$ is a split prime, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula relating the value of the $p$-adic $L$-function outside the range of interpolation to the syntomic Abel-Jacobi image of generalized Hirzebruch-Zagier cycles.

研究の動機と目的

• 完全実数体の二次拡大体 L/F 上のユニタリ尖域自動形式的表現に対して、捩れた三重積 L 関数の中心値を補間する p-進 L 関数を構成すること。
• 一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルのシントミックアーベル・ジャコビ像と関連付けることで、p-進 L 関数の幾何的解釈を確立すること。
• p-進 L 関数とこれらのサイクルが、三重積 L 関数およびその p-進変種の枠組みにおいて中心的対象である証拠を提供すること。
• p-進グロス＝ツァギエール公式を通じて、p-進 L 関数の自動形式的および幾何的構成の整合性を検証すること。

提案手法

• 群 Res_{L×F/F}(GL₂) 上の自動形式の近似通常射影を用いて、捩れた三重積 L 関数の中心 L 値を補間する p-進 L 関数を構成する。
• ペリン＝ルイの道具立てを用い、ユニタリ尖域表現の近似通常族を通じて特殊値を p-進メロモルフィック関数に補間する。
• シントミックアーベル・ジャコビ写像を用いて、Kuga-Sato 型多様体上の一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルにコhomオロジー類を関連付ける。
• モジュラー形式の de Rham 実現と過収束尖域形式の理論を用い、p-進モジュラー形式とアーベル・ジャコビ像を結びつける。
• 微分作用素と対角制限写像を用いて、ヒルベルトモジュラー形式のコhomオロジー的データを三重積構造に関連付ける。
• p-進設定における整数的モデルおよびコンパクト化の理論を用いて、p-進グロス＝ツァギエール公式の幾何的側面を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実数体の二次拡大体上でのユニタリ尖域自動形式的表現に対して、捩れた三重積 L 関数の中心値を補間する p-進 L 関数を構成できるか？
• RQ2 特に一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルを通じて、p-進 L 関数に代数的サイクルによる幾何的解釈が存在するか？
• RQ3 実二次体および分岐する素数の場合に、p-進 L 関数の補間範囲外の値が、一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルのシントミックアーベル・ジャコビ像に対応するか？
• RQ4 p-進 L 関数は、過収束尖域形式および近似通常射影から生じるコhomオロジー的データの言語で表現可能か？
• RQ5 三重積 L 関数の文脈において、p-進 L 関数とサイクルのアーベル・ジャコビ像を結ぶ p-進グロス＝ツァギエール公式が存在するか？

主な発見

• Res_{L×F/F}(GL₂) 上の p-近似通常族であるユニタリ尖域自動形式的表現に対して、捩れた三重積 L 関数の中心値を補間する p-進 L 関数が構成された。
• L/Q が実二次体で p が分岐する素数である場合、非中心点における p-進 L 関数が、一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルのシントミックアーベル・ジャコビ像に比例することが示された。
• この公式により、p-進 L 関数がアーベル・ジャコビ像の有理数倍として表現され、その係数には p-進 L-不変量とオイラー因子が含まれる。
• サイクル Δℓ,k のアーベル・ジャコビ像が、cuspform f* に関連する微分形式の近似通常射影を用いて明示的に計算された。
• 関連するガロア表現が可約である場合に、p-進 L 関数が特定の点で消えることが示された。これは、グロス＝ツァギエール設定における期待される非消える性質と整合的である。
• 結果として、三重積 L 関数およびその p-進補間の文脈において、p-進 L 関数と一般化されたヒルツブルーフ＝ザギエールサイクルが正しい幾何的および自動形式的対象であることが確認された。