[論文レビュー] Two classes of hyperbolic surfaces in P^3

Bernard Shiffman, Mikhail Zaidenberg|ArXiv.org|Nov 25, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元射影空間に埋め込まれた、種数 $ g \geq 2 $ および $ g \geq 3 $ の曲線の対称平方およびカルテシアン平方の一般射影を用いて、複素射影3次元空間（$ \mathbb{P}^3 $）における2種類の特異な小林双曲的表面を構成する。第一のクラスは、C-双曲的正規化を有する表面を生じさせ、32次例を提供する。第二のクラスは、最小次数16の表面を生じさせるが、その正規化はC-双曲的でない。これにより、代数的表面における双曲的性の理解が進む。

ABSTRACT

We construct two classes of singular Kobayashi hyperbolic surfaces in $P^3$. The first consists of generic projections of the cartesian square $V = C imes C$ of a generic genus $g \ge 2$ curve $C$ smoothly embedded in $P^5$. These surfaces have C-hyperbolic normalizations; we give some lower bounds for their degrees and provide an example of degree 32. The second class of examples of hyperbolic surfaces in $P^3$ is provided by generic projections of the symmetric square $V' = C_2$ of a generic genus $g \ge 3$ curve $C$. The minimal degree of these surfaces is 16, but this time the normalizations are not C-hyperbolic.

研究の動機と目的

• 特異性を制御可能な、$ \mathbb{P}^3 $ 内の小林双曲的表面の新しい例を構成すること。
• 曲線の対称平方およびカルテシアン平方を射影して得られる表面の正規化の双曲的性質を調査すること。
• このような双曲的表面の最小次数を特定し、下界を確立すること。
• 射影された表面の文脈において、C-双曲的と非C-双曲的正規化の違いを探索すること。
• 複素射影3次元空間内の双曲的代数的表面の分類に貢献すること。

提案手法

• 種数 $ g \geq 2 $ の一般な曲線 $ C $ を $ \mathbb{P}^5 $ に滑らかに埋め込み、そのカルテシアン平方 $ C \times C $ を一般射影により $ \mathbb{P}^3 $ に射影し、特異な双曲的表面を生成する。
• 幾何学的および代数的幾何学的技法を用いて、射影された表面の正規化がC-双曲的であるかどうかを特定する。
• 種数 $ g \geq 3 $ の一般な曲線 $ C $ の対称平方 $ C_2 $ を、$ \mathbb{P}^5 $ に埋め込み、一般射影により $ \mathbb{P}^3 $ に射影する。
• 交線論および埋め込みの制約を用いて、得られた表面の次数に対する下界を確立する。
• 特に双曲的性および小林計量に関連する、代数的幾何学および複素解析の技法を用いる。
• 一般射影が特定の条件下で双曲的性を保つことを利用し、射影によって導入される特異性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 $ g \geq 2 $ の曲線のカルテシアン平方の一般射影として得られる $ \mathbb{P}^3 $ 内の小林双曲的表面の最小次数は何か？
• RQ2 種数 $ g \geq 3 $ の曲線の対称平方の射影によって得られる表面の正規化がC-双曲的になれるか。もしそうでないなら、その理由は何か？
• RQ3 曲線の平方の一般射影が $ \mathbb{P}^3 $ 内で双曲的表面を生じるための幾何学的およびコホロロジー的条件は何か？
• RQ4 正規化の双曲的性質は、元の曲線の位相的性質および種数とどのように関係するか？
• RQ5 これらの射影法によって構成されたような双曲的表面の次数に対する鋭い下界は何か？

主な発見

• $ g \geq 2 $ の $ C \times C $ の一般射影から得られる第一のクラスの表面は、C-双曲的正規化を有する。
• 第一のクラスに属する表面の明示例として、32次例が構成された。
• 第二のクラス（$ g \geq 3 $ の $ C_2 $ から得られる）の表面の最小次数は16である。
• 第二のクラスの表面の正規化は、表面自体が小林双曲的であるにもかかわらず、C-双曲的でない。
• 本稿では、元の曲線の種数および埋め込み次元に基づき、射影された表面の次数に対する下界を確立した。
• この構成により、正規化がC-双曲的でない場合でも、双曲的性が一般射影のもとで保存され得ることが示された。