[論文レビュー] Two families of novel second-order fractional numerical formulas and their applications to fractional differential equations

Baoli Yin, Yang Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝リウヴィル積分作用素のための新しい生成関数を構築することで、2階の分数マスの数値的手法である分数BT-θおよびBN-θ法の2つの新しい族を導入する。これらの手法は、初期特異性に対する補正項を用いることで、最適な精度を達成する2階収束を実現し、安定性解析によりA(ϑ)-安定性が確認され、数値実験によって裏付けられている。

ABSTRACT

In this article, we introduce two families of novel fractional $θ$-methods by constructing some new generating functions to discretize the Riemann-Liouville fractional calculus operator $\mathit{I}^α$ with a second order convergence rate. A new fractional BT-$θ$ method connects the fractional BDF2 (when $θ=0$) with fractional trapezoidal rule (when $θ=1/2$), and another novel fractional BN-$θ$ method joins the fractional BDF2 (when $θ=0$) with the second order fractional Newton-Gregory formula (when $θ=1/2$). To deal with the initial singularity, correction terms are added to achieve an optimal convergence order. In addition, stability regions of different $θ$-methods when applied to the Abel equations of the second kind are depicted, which demonstrate the fact that the fractional $θ$-methods are A($\vartheta$)-stable. Finally, numerical experiments are implemented to verify our theoretical result on the convergence analysis.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウヴィル分数積分作用素のための、より高い精度と安定性を備えた新しい2階数値公式の開発。
• θでパラメータ化された連続的な手法族を導入することで、既存の分数スキーム（FBDF2、FTR、GNGF2）の間のギャップを埋める。
• 分数微分方程式における初期特異性の問題に対処するため、有効な補正項を用いて、最適な収束順序を維持する。
• 提案されたθ法の安定性特性、特にアベル型第2種方程式に適用した際のA(ϑ)-安定性を分析する。

提案手法

• 新しい生成関数 ω(ξ) = p₁(ξ)^α p₂(ξ)^β の形を持つ、分数BT-θおよびBN-θ法の2つの新しい族の数値的手法を提案する。
• BT-θ法ではFBDF2（θ=0）とFTR（θ=1/2）の間を滑らかに補間する生成関数を構築し、BN-θ法ではFBDF2（θ=0）とGNGF2（θ=1/2）の間を補間する。
• 生成関数の導関数から得られる係数を用いて、畳み込み重み ωₖ を再帰的に計算する公式を導出する。これにより、O(N)の計算複雑度で効率的な計算が可能となる。
• 初期特異性に対処するため、数値スキームに補正項を適用し、弱い特異性を持つ解に対しても2階収束を回復する。
• アベル方程式の第2種に適用したθ法の安定性領域を導出し、プロットすることで安定性を分析し、A(ϑ)-安定性を確認する。
• 既知の解を持つ分数微分方程式に対する数値実験を通じて、理論的収束性と安定性の結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FBDF2、FTR、GNGF2などの既存スキームを滑らかに補間する、統一された2階分数マス数値手法の族を構築することは可能か？
• RQ2 リーマン＝リウヴィル分数積分作用素に対して2階収束を保証するように、生成関数をどのように設計できるか？
• RQ3 初期特異性を伴う分数微分方程式を解く際、最適な収束順序を回復するために必要な補正項は何か？
• RQ4 提案された分数θ法はA(ϑ)-安定か？また、異なるθ値に対してその安定性領域はどのように振る舞うか？
• RQ5 複雑な積分の直接評価を避けてもよい、畳み込み重み ωₖ を効率的に計算する再帰的アルゴリズムを導出できるか？

主な発見

• 提案された分数BT-θおよびBN-θ法は、収束解析により、リーマン＝リウヴィル分数積分作用素に対して2階収束を達成することが証明された。
• 補正項がスキームにうまく組み込まれ、初期特異性が存在する場合でも最適な収束順序が回復された。
• 第2種アベル方程式に適用したθ法の安定性領域は、A(ϑ)-安定性を示し、剛性のある分数問題に対しても頑健であることが確認された。
• 畳み込み重み ωₖ を計算する再帰的公式が導出され、O(N)の計算複雑度を示し、効率的な実装が可能であることが示された。
• 数値実験により、理論的収束率と安定性特性が確認され、提案手法の有効性が裏付けられた。
• 生成関数アプローチにより、多項式ベースの関数と調整可能なパラメータ（θ）を組み合わせることで、新しい分数スキームを体系的に構築でき、柔軟性と調整性が得られる。