[論文レビュー] Two homological proofs of the Noetherianity of $FI_G$

Liping Li|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$FI_G$-加群が有限生成であるとき、その加群がネーター的であることを示す2つの新しいホモロジー的証明を提示する。これは、可換ネーター環上の有限生成$FI_G$-加群がネーター的であることを示す。証明は生成次数、ねじれ次数、ホモロジー次数といったホモロジー不変量に依存し、シフト関手と導来関手の性質を用いる。また、フィルトレーション付き加群および局所コホホロジーの結果を、任意の可換環上での有限次数で提示される加群へと拡張する。

ABSTRACT

We give two homological proofs of the Noetherianity of the category $FI$, a fundamental result discovered by Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal.

研究の動機と目的

• 表現安定性の基礎的結果である$FI_G$のネーター性を、グレブナー理論や表現論的技法ではなくホモロジー的不変量を用いて証明すること。
• 可換ネーター環上の有限生成$FI_G$-加群に関する結果を、任意の可換環上での弱い有限提示条件を満たす加群へと拡張すること。
• FI_G-加群$V$が有限次数で提示されるための必要十分条件を、生成次数とねじれ次数がともに有限であることとして特定すること。
• 導来関手のホモロジー的性質を用いて、十分大きな$N$に対して$\Sigma_N V$がフィルトレーション付きであることを示すこと。
• 有限次数で提示される$FI_G$-加群$V$の局所コホホロジー群$H^i_{\mathfrak{m}}(V)$を調査し、そのねじれ次数およびカステルヌオヴォ＝ムーディー正則度に対する上限を導出すること。

提案手法

• FI_G-加群$V$の生成次数$\operatorname{gd}(V)$とねじれ次数$\operatorname{td}(V)$を、それぞれ$\operatorname{Hom}_{{\underline{\mathscr{C}}}}(kG_n, V)$および$\operatorname{Tor}^{{\underline{\mathscr{C}}}}_s({\underline{\mathscr{C}}}/\mathfrak{m}, V)$を用いて定義する。
• 導来関手$D$とシフト関手$\Sigma$を用いて、$V$と$DV$のホモロジー不変量の関係を示し、$DV \neq 0$のとき$\operatorname{gd}(DV) = \operatorname{gd}(V) - 1$が成り立つことを示す。
• 短完全列$0 \to V_T \to V \to V_F \to 0$を用いてねじれ部とねじれ自由部に分離し、$\operatorname{td}(V) = \operatorname{td}(V_T)$が成り立つことを活用する。
• 生成次数に関する帰納法と、$DV$がフィルトレーション付きで$V$がねじれ自由ならば$V$もフィルトレーション付きであるという重要な補題を用いて、十分大きな$N$に対して$\Sigma_N V$がフィルトレーション付きであることを証明する。
• 各コホホロジー群のねじれ次数に上限を与えるために、フィルトレーション付き加群の有限複体$\mathcal{C}^\bullet V$を構成し、$H^i(\mathcal{C}^\bullet V) \cong H^{i+1}_{\mathfrak{m}}(V)$が成り立つようにする。
• カステルヌオヴォ＝ムーディー正則度の上限を、$\operatorname{reg}(V) \leq \max\{\operatorname{td}(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) + i\} \leq \max\{2\operatorname{gd}(V) - 1, \operatorname{td}(V)\}$を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレブナー理論や表現論的技法ではなく、ホモロジー的不変量を用いて$FI_G$のネーター性を証明することは可能か？
• RQ2 FI_G-加群$V$が有限次数で提示されるための条件は何か？ 生成次数とねじれ次数はその条件とどのように関係するか？
• RQ3 $\Sigma_N V$がフィルトレーション付き加群となる条件は何か？ また、その条件をホモロジー的不変量でどのように評価できるか？
• RQ4 有限次数で提示される$FI_G$-加群$V$に対して、局所コホホロジー群$H^i_{\mathfrak{m}}(V)$はどのように振る舞うか？ そのねじれ次数に上限を与えることは可能か？
• RQ5 カステルヌオヴォ＝ムーディー正則度$\operatorname{reg}(V)$と生成次数$\operatorname{gd}(V)$、ねじれ次数$\operatorname{td}(V)$などのホモロジー的不変量との関係は何か？

主な発見

• FI_G-加群$V$が有限次数で提示されるための必要十分条件は、$\operatorname{gd}(V)$と$\operatorname{td}(V)$がともに有限であることである。
• 任意の有限次数で提示される$FI_G$-加群$V$に対して、すべての$N \geq \max\{\operatorname{td}(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) \mid i \geq 0\} + 1$に対して$\Sigma_N V$はフィルトレーション付きである。
• 局所コホホロジー群$H^i_{\mathfrak{m}}(V)$は、$0 \leq i \leq n$に対して$\operatorname{td}(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) \leq 2\operatorname{gd}(V) - 2i - 2$を満たし、$H^{-1}_{\mathfrak{m}}(V) \cong H^0(\mathcal{C}^\bullet V)$かつ$\operatorname{td}(H^{-1}_{\mathfrak{m}}(V)) = \operatorname{td}(V)$が成り立つ。
• カステルヌオヴォ＝ムーディー正則度は、$\operatorname{reg}(V) \leq \max\{2\operatorname{gd}(V) - 1, \operatorname{td}(V)\}$を満たし、安定度のホモロジー的上限を与える。
• 可換ネーター環上での$FI_G$のネーター性の第二証明は、任意の射影的加群$P = \underline{\mathscr{C}}e_n$の部分加群$V$に対して$\operatorname{gd}(V) < \infty$を示すことに依拠しており、$W = P/V$に対して$\operatorname{gd}(W) < \infty$かつ$\operatorname{td}(W) < \infty$が成り立つことを用いる。
• 有限生成性の代わりに有限次数で提示される加群を扱うことで、結果は可換ネーター環に限らず、任意の可換環へと拡張可能である。