[論文レビュー] Two New Interpretations of the Fishburn Numbers and their Refined Generating Functions

Paul Levande|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、フィッシュバーン数の2つの新しい組合せ的解釈を提供する：2-ネストのないマッチングと、減少する連続部分列のない逆順序テーブル。直接的な全単写像と対合原理を用いて、これらの構造がフィッシュバーン数と同じ母関数を持つことを証明し、クラエッソンとリヌスソンの予想を裏付け、レムエルとキタエフが提案した2つの精密化された母関数の同値性を確立する。

ABSTRACT

We show that two classes of combinatorial objects--inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers and matchings with no 2-nestings--are enumerated by the Fishburn numbers. In particular, we give a simple bijection between matchings with no 2-nestings and inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers. We then prove using the involution principle that inversion tables with no subsequence of decreasing consecutive numbers have the same generating function as the Fishburn numbers. The Fishburn numbers have previously been shown by Bousquet-Mélou, Claesson, Dukes and Kitaev to enumerate $ extbf{(2+2)}$-avoiding posets, matchings with no left- or right-nestings, permutations avoiding a particular pattern, and so-called ascent sequences, and by Dukes and Parviainen to enumerate upper triangular matrices with non-negative entries and no empty rows or columns. Claesson and Linusson conjectured they also enumerated matchings with no 2-nestings. Using these new interpretations of the Fishburn numbers and another version of the involution, we prove the conjectured equality (also proven using matrices by Jel\'ınek and by Yan) of two refinements by Remmel and Kitaev of the Fishburn generating function. In an appendix, we state and prove another conjecture of Claesson and Linusson giving the distribution of left-nestings over the set of all matchings.

研究の動機と目的

• 既知のクラス（(2+2)-回避順序型や上昇列挙）を超えた、フィッシュバーン数の新たな組合せ的解釈を提供すること。
• クラエッソンとリヌスソンの予想、すなわち2-ネストのないマッチングがフィッシュバーン数によって数え上げられることを証明すること。
• レムエルとキタエフが提案したフィッシュバーン数の2つの精密化された母関数の同値性を確立すること。
• 全単写像と対合に基づく証明を通じて、フィッシュバーン数の母関数の理解を拡張すること。

提案手法

• 2-ネストのないマッチングと、減少する連続部分列のない逆順序テーブルとの間の直接的な全単写像を構築すること。
• 対合原理を適用して、これらの逆順序テーブルの母関数が既知のフィッシュバーン母関数と一致することを証明すること。
• 位置 $ a_i = i-1 $ の個数を追跡するように母関数を精密化し、それがレムエル–キタエフの2変数母関数と一致することを証明すること。
• 対合証明の変種を用いて、同じ精密化された母関数がレムエル–キタエフの2番目の形とも一致することを示すこと。
• 帰納的アーキ・挿入から導かれる再帰関係を用いて、マッチングにおける左ネストに関する関連予想を証明すること。
• 小さい $ n $ における母関数の対称性を検証し、一般化された $ q,t $-統計量の可能性を示唆すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラエッソンとリヌスソンの予想である、2-ネストのないマッチングがフィッシュバーン数によって数え上げられるか？
• RQ2 レムエルとキタエフが提案したフィッシュバーン数の2つの精密化された母関数が、実際に同値であることを証明できるか？
• RQ3 2-ネストのないマッチングと、減少する連続部分列のない逆順序テーブルとの間で、直接的な組合せ的全単写像が存在するか？
• RQ4 すべてのマッチングにおける左ネストの分布は、2階のオイラー数の三角形に従うか？
• RQ5 面積や dinv に類似する統計量を、フィッシュバーン構造的対象に定義することで、対称的な母関数が得られるか？

主な発見

• 2-ネストのないマッチングと、減少する連続部分列のない逆順序テーブルとの間で、直接的な全単写像が構築され、フィッシュバーン数の新たな組合せ的解釈が裏付けられた。
• 対合原理を用いて、減少する連続部分列のない逆順序テーブルの母関数が、既知のフィッシュバーン母関数と一致することを証明した。
• 位置 $ a_i = i-1 $ の個数を追跡するように精密化したフィッシュバーン数の母関数が、レムエルとキタエフが提案した両方の形と一致することが示された。
• すべてのマッチングにおける左ネストの分布が、2階のオイラー数の三角形に従うことが証明され、クラエッソンとリヌスソンの予想が裏付けられた。
• $ n \leq 5 $ の範囲では、逆順序テーブルと上昇列挙の両方で対称的な母関数が観察されたが、$ n=6 $ で対称性が崩れるため、さらなる精密化が必要である可能性が示唆された。
• 本研究の結果は、フィッシュバーン対象における一般化された $ q,t $-統計量の探求の基盤を提供し、$ q,t $-カタラン多項式の理論への拡張の可能性を示唆する。