[論文レビュー] Two Parameter Gamma Function and its Properties

Kuldeep Singh Gehlot|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、2つの正の実数パラメータ p と k を組み込むことによって、古典的ガンマ関数、ベータ関数、ポッホハマー関数の2パラメータ一般化—p-k ガンマ関数、p-k ベータ関数、p-k ポッホハマー関数—を導入する。著者らは積分表現、無限積表現、漸化式、関数的恒等式を導出し、古典的特殊関数との関係を確立する。主な貢献は、p-k 超幾何関数の定式化およびその微分方程式、積分表現、古典的超幾何関数との関数的関係の確立である。

ABSTRACT

In this paper we introduce the Two Parameter Gamma Function, Beta Function and Pochhammer Symbol. We named them, as p - k Gamma Function, p - k Beta Function and p - k Pochhammer Symbol and denoted as $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ respectively. We prove the several identities for $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ those satisfied by the classical Gamma, Beta and Pochhammer Symbol. Also we provide the integral representation for the $_{p}Γ_{k}(x) $ and $_{p}B_{k}(x,y) $.

研究の動機と目的

• 2つの独立したパラメータ p と k を導入することで、古典的ガンマ関数、ベータ関数、ポッホハマー関数を一般化すること。
• p-k ガンマ関数の積分表現および無限積表現を確立すること。
• p-k ベータ関数および p-k パシィ関数を定義し、それらが古典的関数とどのように関係するかを調査すること。
• p-k 超幾何関数を導入し、その微分方程式、積分表現、古典的超幾何関数との関数的関係を導出すること。
• 2パラメータ変形フレームワークを通じて、古典的特殊関数論を統一的かつ拡張的に展開すること。

提案手法

• 収束条件を満たすように、p-k ポッホハマー記号を ${}_{p}(x)_{n,k} = \prod_{i=0}^{n-1} \left(\frac{xp}{k} + ip\right)$ として定義する。ここで $x \in \mathbb{C}$、$k,p \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$、$\operatorname{Re}(x) > 0$ である。
• 極限定義により p-k ガンマ関数を導出する：${}_{p}\Gamma_k(x) = \frac{1}{k} \lim_{n \to \infty} \frac{n! p^{n+1} (np)^{\frac{x}{k} - 1}}{{}_{p}(x)_{n,k}}$。
• タンナリーの定理と漸化式を用いて、積分表現 ${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$ を確立する。
• p-k ベータ関数を ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{{}_{p}\Gamma_k(x) {}_{p}\Gamma_k(y)}{{}_{p}\Gamma_k(x+y)}$ として定義し、$\frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$ を含む複数の積分形を導出する。
• 対数微分として p-k パシィ関数を定義する：${}_{p}\psi_k(x) = \frac{d}{dx} \ln \left( {}_{p}\Gamma_k(x) \right)$、そして古典的ディガンマ関数を用いた閉形式表現を導出する。
• p-k 超幾何関数 $F(a,p,k;b,t,s;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{i=1}^r {}_{p_i}(a_i)_{n,k_i}}{\prod_{j=1}^q {}_{t_j}(b_j)_{n,s_j}} \frac{x^n}{n!}$ を導入し、その微分方程式および積分表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ガンマ関数は、2つの独立したパラメータ p と k を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 p-k ガンマ関数の積分表現および無限積展開は何か？
• RQ3 p-k ベータ関数および p-k パシィ関数は、それらの古典的対応関数とどのように関係するか？
• RQ4 p-k 超幾何関数の微分方程式および積分表現は何か？
• RQ5 p-k 超幾何関数と古典的超幾何関数との間にはどのような関数的関係が存在するか？

主な発見

• p-k ガンマ関数は積分表現 ${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$ を有し、$\operatorname{Re}(x) > 0$ の範囲で有効である。
• p-k ベータ関数は ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$ を満たし、古典的ベータ関数と直接的に関連している。
• p-k パシィ関数は ${}_{p}\psi_k(x) = \frac{\ln p}{k} + \psi(\frac{x}{k})$ で与えられ、ここで $\psi$ は古典的ディガンマ関数である。
• p-k ガンマ関数の対数の r 階微分は、$r \geq 2$ に対して $\frac{d^{r-1}}{dx^{r-1}} {}_{p}\psi_k(x) = (-1)^r k (r-1)! \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(x + nk)^r}$ である。
• p-k 超幾何関数は微分方程式 $[\theta \prod_{j=1}^q (\theta + \frac{b_j}{s_j} - 1) - A x \prod_{i=1}^r (\theta + \frac{a_i}{k_i})] W = 0$ を満たす。ここで $\theta = x \frac{d}{dx}$ かつ $A = \frac{\prod p_i}{\prod t_j}$ である。
• p-k 超幾何関数は古典的超幾何関数と関数的関係 $F(a,p,k;b,t,s;x) = F(\frac{a}{k}; \frac{b}{s}; \frac{\prod p_i}{\prod t_j} x)$ を有する。