[論文レビュー] Two-Parameter Method for Describing the Nonlinear Evolution of Narrow-Band Wave Trains

V. P. Lukomsky, I. S. Gandzha|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2009

Optical Network Technologies参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の多項式非線形性を有するクライン–ゴルドン方程式に従う分散系における狭帯域波動パッケージの非線形的時間発展をモデル化する、2パラメータの摂動法を提案する。時間微分を振幅（ε）と空間的変動の緩慢さ（μ）の独立した小さなパラメータを用いて漸近級数に展開することで、従来の多重スケール法で生じる特異項（secular terms）を回避し、光ファイバーや流体界面、プラズマにおける高強度・超短パルスの安定な高次モデル化を可能にする。

ABSTRACT

We consider the evolution of narrow-band wave trains of finite amplitude in a nonlinear dispersive system which is described by the Klein--Gordon equation with arbitrary polynomial nonlinearity. We use a new perturbative technique which allows the original wave equation to be reduced to a model equation for the wave train envelope (high-order nonlinear Schrödinger equation). The time derivative is expanded into an asymptotic series in two independent parameters which characterize the smallness of amplitudes ($\varepsilon$) and the slowness of their spatial variations ($μ$). In contrast to other perturbative methods in which these two parameters are taken equal (e.g., the multiple scale method), the two-parameter method produces no secular terms. The results of this study can be applied to investigating the propagation of ultrashort (femtosecond) pulses in optical fibers, to studying the wave events on a fluid surface, and to describing the Langmuir waves in hot plasmas.

研究の動機と目的

• 有限振幅・狭帯域波動パッケージの非線形分散系における摂動的フレームワークの構築を目的とする。
• 従来の多重スケール法で生じる特異項の問題を、振幅と空間的変動の緩慢さを独立したパラメータとして取り扱うことで解決することを目的とする。
• 高次分散および非線形効果を捉えることができる高次非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）モデルの導出を目的とする。
• 光ファイバー、表面波、およびプラズマのラングミュール波における超短パルスダイナミクスの正確な記述を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 本手法は、波動の振幅を表す小さなパラメータεと、空間的変動の緩慢さを表す小さなパラメータμの2つを独立して用いる。
• 時間微分をεおよびμの漸近級数に展開し、両者の独立性を保つ。
• 任意の多項式非線形性を有する元のクライン–ゴルドン方程式は、波動包の高次NLSEに簡略化される。
• 多重スケール法とは異なり、εとμを等しくしないことで、特異項の発生を回避する。
• 得られたモデル方程式の係数は、波動方程式の体系的漸近展開により導出される。
• 特異項の無限大発散を引き起こさないため、NLSEに対する高次補正が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動論において特異項を生じさせない形で、狭帯域波動パッケージの非線形的時間発展をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 振幅と空間的変動の緩慢さを独立した小さなパラメータとして取り扱うことで、摂動解の安定性にどのような影響が生じるか？
• RQ3 2パラメータ法は、多重スケール法に比べて、高次分散および非線形効果をどのようによりよく捉えることができるか？
• RQ4 この手法は、光ファイバーおよび他の非線形分散媒質における超短パルス伝搬を正確に記述できるか？
• RQ5 導出された高次NLSEモデルがフェムト秒パルスに対して有効である条件は何か？

主な発見

• 2パラメータ法は、従来の多重スケール摂動技法に見られる特異項を効果的に排除した。
• 導出されたモデル方程式は、高次分散および非線形項を含む高次非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）である。
• 本手法により、2次分散が消える光ファイバーにおけるフェムト秒パルス伝搬の正確なモデル化が可能となった。
• 本手法は、流体界面の波動ダイナミクスおよび高温プラズマにおけるラングミュール波にも適用可能である。
• 体系的漸近展開により、εおよびμの複数の次数にわたり、解の安定性と収束性が保証される。
• ハミルトニアン的および変分的手法に比べ、よりアルゴリズム的かつ扱いやすい、進化的な方程式導出の代替手段を提供する。