[論文レビュー] Two-Point Gromov-Witten Formulas for Symplectic Toric Manifolds

Alexandra Popa|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、滑らかでねじれたベクトルバンドルを備えたシンプレクティックトーリック多様体の、種数0の2点Gromov-Wittenインバリアントについて、明示的で閉形式の公式を導出する。標準的な2点生成関数が、GiventalのJ関数そのものであり、それ自体が1点生成関数の変換であることが示され、非負のトーリック完全交差のインバリアントの直接計算を可能にし、局所化技法を用いた種数1インバリアントへの道筋を示す。

ABSTRACT

We show that the standard generating functions for genus 0 two-point twisted Gromov-Witten invariants arising from concavex vector bundles over symplectic toric manifolds are explicit transforms of the corresponding one-point generating functions. The latter are, in turn, transforms of Givental's J-function. We obtain closed formulas for them and, in particular, for two-point Gromov-Witten invariants of non-negative toric complete intersections. Such two-point formulas should play a key role in the computation of genus 1 Gromov-Witten invariants (closed, open, and unoriented) of toric complete intersections as they indeed do in the case of the projective complete intersections.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトーリック多様体の種数02点ねじれたGromov-Wittenインバリアントについて、明示的で閉形式の公式を導出すること。
• 標準的な2点生成関数を、1点生成関数の変換として表現すること。1点生成関数自体はGiventalのJ関数の変換である。
• 射影空間から得られた既知の結果を、一般のシンプレクティックトーリック多様体とねじれたベクトルバンドルへと拡張すること。
• トーリック完全交差の種数1Gromov-Wittenインバリアント（閉、開、非可換）の計算の基盤を提供すること。

提案手法

• 安定写像のモジュライ空間における等長作用を用いて、インバリアントを固定点寄与に還元する。
• 局所化定理を適用して、種数02点インバリアントの等長生成関数を計算する。
• トーラス作用によるモジュライ空間の性質を用いて、生成関数の再帰的性質および多項式的性質を導出する。
• 等長コホモロジーと特徴類を用いて、2点生成関数がGiventalのJ関数の明示的変換であることを確立する。
• ねじれたベクトルバンドルの構造に依存して、特定のコホモロジー群が消えることを保証し、仮想局所化の適用を可能にする。
• 既存の局所化公式から得られるべき級数の導出を通じて、[LLY3] との関連を確立し、変換構造の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックトーリック多様体にねじれたベクトルバンドルを備えた場合、種数02点Gromov-Wittenインバリアントをどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 この設定において、2点生成関数とGiventalのJ関数の正確な関係は何か。
• RQ3 これらのインバリアントの1点生成関数を、既知の特殊関数または級数で明示的に表現できるか。
• RQ4 導出された公式が、射影空間から得られた既知の結果を、任意のシンプレクティックトーリック多様体へどの程度一般化できるか。
• RQ5 これらの2点公式は、種数1Gromov-Wittenインバリアントの計算をどのように促進するか。

主な発見

• 種数0ねじれたGromov-Wittenインバリアントの2点生成関数は、1点生成関数の明示的変換である。
• 1点生成関数はGiventalのJ関数の変換であり、本稿で明示的に計算されている。
• 非負のトーリック完全交差に対しては、導出された閉形式により2点インバリアントが完全に計算可能である。
• 変換構造のおかげで、2点インバリアントは等長パラメータおよび量子パラメータの有理関数として保証される。
• 本稿の結果は、[PoZ]および[Z2]の既存の公式を、任意のシンプレクティックトーリック多様体へ一般化する。
• 導出された公式は、等長コホモロジーの基底の選び方に依存せず、一貫性と一般性を保証する。