[論文レビュー] Two Problems on Cartan Domains

Weiping Yin|ArXiv.org|Mar 9, 2006

Holomorphic and Operator Theory被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、例外的カルタン領域 $Σ_V(16)$ および $Σ_{VI}(27)$ 上におけるベルグマン核、コーシー＝シュレーディンガー核、ポアソン核、ベルグマン計量の明示的公式を導出し、有界正則対称領域上に不変微分作用素 $L_j$ のクラスを確立する。主な結果は、$L_j(P_j) = 0$ が成り立つための必要十分条件が領域が対称的であることと同値であることを示しており、ポアソン核の $j$ 乗根上でのこれらの作用素の消滅を通じて、対称領域の特徴付けがなされている。

ABSTRACT

Firstly, we consider the unitary geometry of two exceptional Cartan domains $\Re_{V}(16)$ and $\Re_{VI}(27)$. We obtain the explicit formulas of Bergman kernal funtion, Cauchy-Szegö kernel, Poinsson kernel and Bergman metric for $\Re_{V}(16)$ and $\Re_{VI}(27)$. Secondly, we give a class of invariant differential operators for Cartan domain $\Re$ of dimension n: If the Bergman metric of $\Re$ is $$ds^{2}=\sum\limits_{i,j=1}^{n}g_{ij}dz_{i}d\bar{z}_{j}, T(z,\bar{z})=(g_{ij})$$ and $$L(u)=T^{-1}(z,\bar{z}) [\frac{\partial^2u}{\partial z_i\partial\bar{z}_j}],$$then $$L_j(u)=\{\mbox {The sum of all prinipal minors of degree} j {for} L(u)\}$$ is invariant under the biholomorphic mapping of $\Re$. Let $D$ be the irreducible bounded homogeneous domain in $C^n$, $P=P(z,*)$ the Poisson kernel of $D$, then for any fixed $J(1\leq j \leq n)$ one has $L_j(P^{1/j})=0$ iff $D$ is a symmetric domain.

研究の動機と目的

• 二つの例外的カルタン領域 $Σ_V(16)$ および $Σ_{VI}(27)$ 上における基本的積分核（ベルグマン核、コーシー＝シュレーディンガー核、ポアソン核、ベルグマン計量）の明示的表現を計算すること。
• 第二階微分を含む逆ベルグマン計量テンソルの主小行列式に基づく、不変微分作用素 $L_j(u)$ のクラスを構成し、その有界正則対称領域における双正則写像のもとでの不変性を証明すること。
• 有界正則対称領域が対称的であるための必要十分条件を、$L_j(P_j)$ の消滅、ここで $P_j = P^{1/j}$ かつ $P$ はポアソン核である、ことによって特定すること。

提案手法

• 行列表現とユニタリ構造を用いて、$Σ_V(16)$ および $Σ_{VI}(27)$ 上におけるベルグマン核および計量の明示的公式を導出する。
• 作用素 $L(u) = T^{-1}(z,\overline{z})[\partial^2 u / \partial z_i \partial \overline{z}_j]$ を定義し、ここで $T = (g_{ij})$ はベルグマン計量テンソルである。これを $L(u)$ のすべての $j \times j$ 主小行列式の和として $L_j(u)$ に拡張する。
• 正則写像の下での変換則を解析することにより、$L_j(u)$ が領域 $\Re$ の双正則自己同型の下で不変であることを証明する。
• 線形正規化により $T|_{Z=0} = \lambda I$ および $\left(\partial^2 \log P / \partial z' \partial \overline{z}\right)|_{Z=0} = -\mu I$ を設定し、問題を $\alpha = \partial \log P / \partial z|_{Z=0}$ を含む行列の固有値解析に還元する。
• 行列 $I - (b/j)\alpha'\overline{\alpha}$ の特性多項式を分析し、$j$ 次主小行列式の和が消える条件を特定する。ここで $b = (\lambda\mu)^{-1}$ である。
• $L_j(P_j) = 0$ が成り立つための必要十分条件が $L_1(P) = 0$ と同値であることを示し、[1] で知られている結果を用いて、$D$ が対称的であることと $L_j(P_j) = 0$ が同値であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例外的カルタン領域 $\Re_V(16)$ および $\Re_{VI}(27)$ 上におけるベルグマン核、コーシー＝シュレーディンガー核、ポアソン核、ベルグマン計量の明示的公式は何か？
• RQ2 $L_j(u)$ が、行列 $T^{-1}(z,\overline{z})[\partial^2 u / \partial z_i \partial \overline{z}_j]$ のすべての $j \times j$ 主小行列式の和として定義されるとき、これは有界正則対称領域の双正則自己同型の下で不変か？
• RQ3 $P_j = P^{1/j}$ かつ $P$ がポアソン核であるとき、$L_j(P_j)$ の消滅は、非可約有界正則対称領域の中で対称領域を特徴付けるか？

主な発見

• 行列構造およびクリフォード代数構造に基づき、例外的カルタン領域 $\Re_V(16)$ および $\Re_{VI}(27)$ 上におけるベルグマン核、コーシー＝シュレーディンガー核、ポアソン核、ベルグマン計量の明示的閉形式が導出された。
• 行列 $T^{-1}(z,\overline{z})[\partial^2 u / \partial z_i \partial \overline{z}_j]$ のすべての $j \times j$ 主小行列式の和として定義される作用素 $L_j(u)$ は、領域 $\Re$ の双正則写像の下で不変であり、対称領域上での既知の不変性性質を一般化する。
• 任意の固定された $j$ に対して $1 \leq j \leq n$ が成り立つとき、$L_j(P_j) = 0$ が成り立つための必要十分条件は、領域 $D$ が対称的であることである。ここで $P_j = P^{1/j}$ かつ $P$ はポアソン核である。
• 原点において、作用素 $L_j(P_j)$ の行列 $G(P_j)$ は $(-\lambda\mu/j)I + (1/j^2)\alpha'\overline{\alpha}$ に簡約され、$j$ 次主小行列式の和の消滅は行列 $I - (b/j)\alpha'\overline{\alpha}$ のスペクトル性質に依存する。ここで $b = (\lambda\mu)^{-1}$ である。
• 行列 $I - (b/j)\alpha'\overline{\alpha}$ の $j$ 次主小行列式の和が消えるのは、$n - ab = 0$ のときであり、ここで $a = \alpha'\overline{\alpha}$ かつ $b = (\lambda\mu)^{-1}$ である。これにより、$L_j(P_j) = 0 \iff L_1(P) = 0$ の同値性が導かれる。