[論文レビュー] Two-Sample Tests Based on Geometric Graphs: Asymptotic Distribution and Detection Thresholds

Bhaswar B. Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ポisson化設定下で一般の対立仮説のもとで、幾何的グラフ（最小全域木やK近傍（K-NN）グラフを含む）に基づく2標本検定の漸近的分布を導出する。K-NN検定の検出閾値と極限局所パワーを確立し、異なる設定における性能を定量化する次元依存の指数を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of testing the equality of two multivariate distributions based on geometric graphs, constructed using the inter-point distances between the observations. These include the test based on the minimum spanning tree and the $K$-nearest neighbor (NN) graphs, among others. These tests are asymptotically distribution-free, universally consistent, and computationally efficient, making them particularly useful in modern applications. However, very little is known about the power properties of these tests. In this paper, using the theory of stabilizing geometric graphs, we derive the asymptotic distribution of these tests under general alternatives, in the Poissonized setting. Using this, the detection threshold and the limiting local power of the test based on the $K$-NN graph are obtained, where interesting exponents depending on dimension emerge. This provides a way to compare and justify the performance of these tests in different examples.

研究の動機と目的

• 幾何的グラフに基づく2標本検定のパワー特性を理解すること。これらは広く用いられているが、統計的性能の面で十分に理解されていない。
• 安定化幾何的グラフの理論を用いて、一般の対立仮説のもとでのこれらの検定の漸近的分布を確立すること。
• 高次元設定におけるK-NNグラフに基づく検定の検出閾値と極限局所パワーを導出すること。
• さまざまな次元において異なる幾何的グラフ検定の性能を比較する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 幾何的グラフに基づく検定統計量の漸近的解析を簡素化するため、ポアソン化設定を用いる。
• 一般の対立仮説のもとでの検定統計量の極限分布を導出するために、安定化幾何的グラフの理論を適用する。
• K-NNグラフに注目し、局所対立仮説のもとでのその漸近的分布を導出する。
• 対立仮説のもとでの検定統計量の発散速度を分析することで、検出閾値を計算する。
• 連接する対立仮説のもとでのK-NN検定の局所パワーを支配する次元依存の指数を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の対立仮説のもとでの幾何的グラフに基づく2標本検定の漸近的分布は何か？
• RQ2 高次元設定におけるK-NNグラフに基づく検定の検出閾値は何か？
• RQ3 K-NN検定の局所パワーはデータの次元にどのように依存するか？
• RQ4 局所対立仮説のもとでの検定の収束速度を支配する指数は何か？

主な発見

• ポアソン化設定下で、一般の対立仮説のもとでの幾何的グラフに基づく2標本検定の漸近的分布が導出された。
• K-NNグラフに基づく検定の検出閾値が特定され、データの次元に依存する臨界レートが明らかになった。
• K-NN検定の極限局所パワーは次元依存の指数を示し、性能がデータ次元に大きく依存することを示している。
• これらの結果は、さまざまな標本サイズおよび次元の設定において、異なる幾何的グラフ検定の感度を比較する理論的基盤を提供する。