[論文レビュー] Two tests for sequential detection of a change-point in a nonlinear model

Gabriela Ciuperca|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、最小二乗推定の残差の重み付きCUSUMとブートストラップに基づく臨界値を用いて、非線形回帰モデルにおける変化点を逐次検出する2つの検定を提案する。帰無仮説の下での漸近的分布を確立し、対立仮説の下で無限大への収束を証明することで、制御された第一種誤り率を達成するリアルタイム検出が可能となり、実用的な非線形モデルにおけるシミュレーションで、パワーはほぼ1に近く、サイズは名目水準よりも著しく低いことが確認された。

ABSTRACT

In this paper, two tests, based on CUSUM of the residuals and least squares estimation, are studied to detect in real time a change-point in a nonlinear model. A first test statistic is proposed by extension of a method already used in the literature but for the linear models. It is tested the null hypothesis, at each sequential observation, that there is no change in the model against a change presence. The asymptotic distribution of the test statistic under the null hypothesis is given and its convergence in probability to infinity is proved when a change occurs. These results will allow to build an asymptotic critical region. Next, in order to decrease the type I error probability, a bootstrapped critical value is proposed and a modified test is studied in a similar way. Simulation results, using Monte-Carlo technique, for nonlinear models which have numerous applications, investigate the properties of the two statistic tests.

研究の動機と目的

• 非線形パrametricモデルにおける変化点をリアルタイムで逐次検出する手法を開発すること。
• 線形モデルから非線形モデルへ、重み付きCUSUMおよび最小二乗推定技術を拡張すること。
• ブートストラップで補正された臨界値を用いて第一種誤り確率を低減すること。
• 帰無仮説および対立仮説の下での検定統計量の漸近的性質を確立すること。
• 実用的な応用を持つ非線形モデルを用いたモンテカルロシミュレーションにより性能を検証すること。

提案手法

• 非線形モデルのパラメータの最小二乗推定からの残差の重み付きCUSUMに基づく検定統計量を構築する。
• 変化がないという帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出する。
• 変化点が存在するという対立仮説の下で、検定統計量が確率的に無限大に収束することを証明する。
• 第一種誤りを低減するために、ブートストラップに基づく臨界値の補正を導入する。
• 帰無仮説の下での検定統計量の標本分布を推定するために、条件付きブートストラップリサンプリングを用いる。
• テイラー展開およびマルティンガール型の議論を用いて、検定統計量の漸近的挙動を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きCUSUMの残差を、非線形モデルにおける逐次的変化点検出にどのように適応できるか。
• RQ2 変化がないという帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布は何か。
• RQ3 実際に変化点が存在する場合、検定統計量はどのように振る舞うか。
• RQ4 漸近的臨界値と比較して、ブートストラップ補正が非線形モデルにおける第一種誤りを効果的に低減できるか。
• RQ5 実用的な非線形モデルにおいて、提案手法のサイズとパワーの実効的性能はいかなるものか。

主な発見

• 対立仮説の下で、検定統計量が確率的に無限大に収束することを確認し、変化の検出能力を裏付けた。
• 帰無仮説の下で、検定統計量の漸近的分布が確率的に有界であることが導出され、示された。
• ブートストラップに基づく臨界値は、漸近的臨界値と比較して第一種誤りを顕著に低減した。
• シミュレーション結果から、複数の非線形モデルにおいて両検定の実効的パワーが1に近いことが示された。
• 実効的サイズは名目有意水準よりも著しく低く、保守的な推論であることが示された。
• 異なる検定統計量を用いても、変化点の位置の推定精度は両者で同等であった。