[論文レビュー] Tykhonov Well-posedness of Elliptic Variational-Hemivariational Inequalities

Mircea Sofonea, Yi‐bin Xiao|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間設定において、楕円型変分・半変分不等式のティホノフの正しく定義された性質について、解集合の距離的特性を用いて、必要十分条件を確立する。解のデータへの連続的依存性を証明し、単一の接触力学的問題に応用する。

ABSTRACT

We consider a class of elliptic variational-hemivaria\-tional inequalities in a abstract Banach space for which we introduce the concept of well-posedness in the sense of Tykhonov. We characterize the well-posedness in terms of metric properties of a family of associated sets. Our results, which provide necessary and sufficient conditions for the well-posedness of inequalities under consideration, are valid under mild assumptions on the data. Their proofs are based on arguments of monotonicity, lower semicontinuity and properties of the Clarke directional derivative. For well-posed inequalities we also prove a continuous dependence result of the solution with respect to the data. We illustrate our abstract results in the study of one-dimensional examples, then we focus on some relevant particular cases, including variational-hemivariational inequalities with strongly monotone operators. Finally, we consider a model variational-hemivariational inequality which arises in Contact Mechanics for which we discuss its well-posedness and provide the corresponding mechanical interpretations.

研究の動機と目的

• 抽象的バナッハ空間における楕円型変分・半変分不等式のクラスに対して、ティホノフの正しく定義された性質を導入し、分析すること。
• データにやや弱い仮定を課した下で、関連する解集合の距離的性質を用いて、正しく定義された性質を特徴付けること。
• 解のデータ（作用素、汎関数、制約）への連続的依存性を確立すること。
• 文献で通常要求される強い単調性および小規模条件を緩和することで、既存の結果を拡張すること。
• 抽象的枠組みを、法線方向の適合性と両側摩擦を有する接触力学的問題に応用し、力学的解釈を与えること。

提案手法

• 解の存在と一意性、および任意の近似列が唯一の解に収束することを満たす、変分・半変分不等式に対するティホノフの正しく定義された性質を定義する。
• 単調性、下方連続性、およびクラークの方向微分の性質を用いて、不等式構造を分析する。
• 不等式に関連する集合の族を導入し、それらの集合が単一の点に距離的に収束することによって、正しく定義された性質を特徴付ける。
• 近似列のデータ収束条件 $A_n \to A$, $\varphi_n \to \varphi$, $j_n \to j$, $f_n \to f$, $K_n \to K$ を検証することで、連続的依存性を確立する。
• 1次元の例および法線方向の適合性と両側摩擦を有する接触力学的問題に、抽象的枠組みを適用する。
• トレース不等式と収束推定を用いて、弱い仮定の下で距離的条件を検証する。これには、$L^2$ 収束のギャップ関数および引っ張り力データが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間における楕円型変分・半変分不等式のティホノフの正しく定義された性質の必要十分条件は何か？
• RQ2 解集合の距離的性質を用いて、正しく定義された性質をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 不等式の解がデータに連続的に依存するのはどのような条件下か？
• RQ4 非凸的かつ非滑らかな接触条件を有する接触力学的問題に、抽象的枠組みを適用できるか？
• RQ5 接触問題における正しく定義された性質および連続的依存性の結果から、どのような力学的解釈が得られるか？

主な発見

• 変分・半変分不等式の正しく定義された性質は、関連する集合の族が単一の点に距離的に収束することと同値である。
• ギャップ関数および引っ張り力データの $L^2$ 収束を含むやや弱い仮定の下で、解の連続的依存性が確立される。
• 近似列の収束速度は、$\|g_n - g\|_{L^2(\Gamma_3)}$ に比例する項によって制御され、定数は $F$ と $p$ のリプシッツ定数に依存する。
• 法線方向の適合性と摩擦を有する接触力学的問題は、提案された条件下で正しく定義された性質を有する。強いための単調性がなくても成立する。
• 強い単調性が成立しない場合、非自明な解集合 $\widetilde{K}$ が複数の要素を含む形で非一意的解が生じることを示した。
• 小規模条件および強い単調性の必要性を緩和することで、先行研究を一般化し、より弱い仮定の下でも正しく定義された性質を維持できる。