[論文レビュー] Types for tame p-adic groups

Jessica Fintzen|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$p$-進再帰的群 $G(k)$ の任意の滑らかで非可約な複素表現が、Kim–Yu の方法により構成された $ω$-型を含むことを示しており、さらに $p$ がワイル群の位数と互いに素である限り、すべての非可約超臨界表現が Yu の構成により得られることを示している。この結果は、正の特徴とゼロ特徴の両方で成り立ち、$p$ に対する明示的かつ鋭い上限を与える。Kim の以前の研究とは異なり、非有効な境界や特徴に関する制限がない。

ABSTRACT

Let k be a non-archimedean local field with residual characteristic p. Let G be a connected reductive group over k that splits over a tamely ramified field extension of k. Suppose p does not divide the order of the Weyl group of G. Then we show that every smooth irreducible complex representation of G(k) contains an $\mathfrak{s}$-type of the form constructed by Kim and Yu and that every irreducible supercuspidal representation arises from Yu's construction. This improves an earlier result of Kim, which held only in characteristic zero and with a very large and ineffective bound on p. By contrast, our bound on p is explicit and tight, and our result holds in positive characteristic as well. Moreover, our approach is more explicit in extracting an input for Yu's construction from a given representation.

研究の動機と目的

• 特徴がゼロでない、または $p$ が大きいという仮定がない状況において、$p$-進群の滑らかな非可約複素表現をタイプを用いて分類すること。
• Kim が以前に得た超臨界表現に関する結果を、正の特徴および $p$ に対する明示的かつ鋭い境界にまで拡張すること。
• 弱い純粋性および $p$-互いに素性の条件下で、$G(k)$ の任意の非可約滑らかな表現が Kim–Yu の $ω$-型を含むことの証明。
• 与えられた非可約表現から Yu の構成に必要な入力を明示的かつ構成的に抽出する方法の提供。
• 条件 $p \nmid |W|$ の下で、Yu の構成がすべての超臨界表現を尽くすことを確立すること。

提案手法

• 型の理論と Bernstein 分解を用い、慣性同値類 $\mathfrak{s}$ を通じて表現を分類する。
• 与えられた表現に対する最大データに対応する、タプル $(\vec{G}, x, \vec{r}, \rho|_{K_{G_{n+1}}}, \vec{\phi})$ を用いた Kim–Yu の型の構成を適用する。
• Yu の構成に必要なデータを構成するために、群内にほぼ強く安定でかつ一般な元の存在に依存する。
• コンパクト誘導を用いて型を実現するため、$\widetilde{K} = (G_{n+1})_{[x]}(G_n)_{x,r_n/2}\cdots(G_1)_{x,r_1/2}$ 上に表現 $\widetilde{\rho}$ を構成する。
• Frobenius の随伴性およびコンパクト誘導表現の非可約性を用い、与えられた表現と Yu の構成との間の同型を示す。
• 縮小された Bruhat–Tits の建物と点の安定化部分群を用いて、コンパクト開部分群を定義し、構成と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴がゼロでなく、$p \nmid |W|$ のとき、任意の滑らかな非可約 $p$-進群表現が Kim–Yu の $ω$-型を含むか？
• RQ2 同じ条件下で、Yu の構成がすべての非可約超臨界表現を尽くすことができるか？
• RQ3 $p \nmid |W|$ が、Yu の方法による超臨界表現の尽くしに最適な条件か？
• RQ4 正の特徴において、構成を明示的かつ有効なものにできるか？非有効な境界を避けることができるか？
• RQ5 与えられた非可約表現から、Yu の構成に必要な入力データをアルゴリズム的に抽出する方法は何か？

主な発見

• $G(k)$ の任意の滑らかな非可約複素表現が、Kim と Yu が構成した形の $ω$-型を含む。
• $p$ がワイル群 $W$ の位数と互いに素である限り、$G(k)$ のすべての非可約超臨界表現が Yu の構成により得られる。
• $p \nmid |W|$ の境界は明示的かつ鋭く、Kim の非有効で特徴に依存する境界を改善している。
• 結果はゼロ特徴と正の残差特徴の両方で成り立ち、以前の結果を完全な一般性にまで拡張している。
• 構成により、任意の非可約表現に最大データを一意的に関連付ける方法が得られ、Yu の方法に必要な入力を明示的に抽出可能である。
• 表現が超臨界であるための必要十分条件は、関連する点 $x$ が最小次元のファセットであること、および $Z(G_{n+1})/Z(G)$ が非可縮的であることである。