[论文解读] $u au$-Convergence in locally solid vector lattices

Y. A. Dabboorasad, Eduard Emelyanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了局部凸向量格中的uτ-收敛性，推广了无界范数收敛与绝对弱收敛。定义了uτ-拓扑，建立了其度量化的条件及完备性，并证明了τ-有界集的序列uτ-完备性蕴含Lebesgue性质与Levi性质，扩展了赋范格与序连续格中的已知结果。

ABSTRACT

Let $x_\\alpha$ be a net in a locally solid vector lattice $(X,\ au)$; we say that $x_\\alpha$ is unbounded $\ au$-convergent to a vector $x\\in X$ if $\\lvert x_\\alpha-x \ vert\\wedge w \\xrightarrow{\ au} 0$ for all $w\\in X_+$. In this paper, we study general properties of unbounded $\ au$-convergence (shortly, $u\ au$-convergence). $u\ au$-Convergence generalizes unbounded norm convergence and unbounded absolute weak convergence in normed lattices that have been investigated recently. Besides, we introduce $u\ au$-topology and study briefly metrizabililty and completeness of this topology.

研究动机与目标

• 将无界范数收敛与绝对弱收敛推广至局部凸向量格的框架中。
• 定义并研究uτ-收敛性与uτ-拓扑的性质。
• 建立uτ-拓扑度量化或完备化的条件。
• 将τ-有界集的序列uτ-完备性与局部凸向量格中的Lebesgue性质和Levi性质相联系。

提出的方法

• 将uτ-收敛性定义为：对所有w ∈ X+，有 |xα − x| ∧ w τ→ 0。
• 将uτ-拓扑定义为uτ-收敛的拓扑。
• 使用Riesz伪范数族{ρj}j∈J刻画τ-收敛与uτ-收敛。
• 证明：若(X, τ)是度量化的且具有弱单位，则通过度量d(x,y) = Σ 1/2^k * ρk(|x−y|∧e)/(1+ρk(|x−y|∧e))，uτ-拓扑是次度量化的。
• 应用[26, Thm. 1]中的结果，将uτ-完备性与Lebesgue性质和Levi性质相联系。
• 构造例子表明：在无额外有界性条件时，τ-完备性与Lebesgue性质不能推出uτ-完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部凸向量格中，uτ-拓扑何时是度量化或次度量化的？
• RQ2 在何种条件下，τ-有界集是序列uτ-完备的？
• RQ3 uτ-完备性如何与局部凸向量格中的Lebesgue性质和Levi性质相关？
• RQ4 一个τ-完备的、具有无限维的Lebesgue格是否可能不是uτ-完备的？
• RQ5 uτ-拓扑是否总是拓扑的？它在何时比度量拓扑更精细？

主要发现

• 若(X, τ)是度量化的且具有弱单位，则uτ-拓扑是次度量化的。
• 一个τ-完备的局部凸向量格，若其每个τ-有界集都是序列uτ-完备的，则必须满足Lebesgue性质与Levi性质。
• 存在一个无限维的τ-完备Lebesgue格(X, τ)，同时也是uτ-完备的，表明uτ-完备性不蕴含有限维性。
• uτ-收敛性在赋范格中推广了un-收敛与uaw-收敛。
• 一般情况下，uτ-拓扑不一定是拓扑的，但当底层拓扑τ是度量化的且格具有弱单位时，它是拓扑的。
• 例如，当ρj((xn)) = |xj|时，s的构造表明：即使dim X = ∞，一个τ-完备且Lebesgue的格也可以是uτ-完备的。