[論文レビュー] Un exemple de feuilletage modulaire d\\'eduit d'une solution alg\\'ebrique de l'\\'equation de Painlev\\'e VI

Gaël Cousin|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、6番目のパンルベ方程式の代数的解を用いて、モノドロミー解析と二重被覆を用いて、ヒルベルトモジュラー多様体として実現する、射影平面における新しいモジュラー分岐構造を構成する。主な結果は、微分1形式で明示的に与えられる2つの横断的射影的分岐構造と、それらを入れ替える対合を持つ、モジュラー多様体の双有理的モデルであり、Kodaira次元分類とPSL_2(Z[√3])-作用による双円板上への作用を用いて分岐構造のモジュラリティを証明する。

ABSTRACT

One can easily give examples of rank 2 flat connections over $\\mathbb{P}^2$ by rational pull-back of connections over $\\mathbb{P}^1$. We give an example of a connection that can not occur in this way; this example is constructed from an algebraic solution of Painlev\\'e VI equation. From this example we deduce a Hilbert modular foliation. The proof of this relies on the classification of foliations on projective surfaces due to Brunella, Mc Quillan and Mendes. Then, we get the dual foliation and, by a precise monodromy analysis, we see that our twice foliated surface is covered by the classical Hilbert modular surface constructed from the action of $\\mathrm{PSL}_2(\\mathbb{Z}[\\sqrt{3}])$ on the bidisc.

研究の動機と目的

• 有理的多様体上で、P^1 からの引き戻しによって得られない新しいモジュラー分岐構造の例を構成すること。
• 特定のパンルベ VI の代数的解が、モジュラー性を有する横断的射影的分岐構造を生じることを示すこと。
• 得られた分岐構造がKodaira次元 -∞ および ν = 1 を有することを証明し、Brunella-McQuillan-Mendes分類によりそれがモジュラーであることを特徴づけること。
• 双対分岐構造を特定し、P^2 上で2つの分岐構造を入れ替える明示的な双有理的対合を確立すること。
• この多様体が、PSL_2(Z[√3]) が双円板上で作用するヒルベルトモジュラー多様体の二重被覆であることを示すこと。

提案手法

• パンルベ VI の代数的解から、P^1 × C 上の P^1 フibration 上にリッカティ分岐構造 R を構成する。
• リッカティ分岐構造の Z/4Z 対称性を用いて、新たなファイブレーション上の商分岐構造 R~ を形成する。
• 商ファイブレーションの切断を選択し、P^2 上に横断的射影的分岐構造 F_ω を得る。
• P^2 上で双対分岐構造を定義する1形式 ω と τ を明示的に計算する。
• 二重被覆を適用して、PSL_2(Z[√3]) に関連するヒルベルトモジュラー多様体上の分岐構造に持ち上げる。
• モノドロミー解析とKodaira次元による分岐構造分類を用いて、モジュラリティを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^1 からの引き戻しを回避して、パンルベ VI の代数的解から直接的に有理的多様体上のモジュラー分岐構造を構成できるか？
• RQ2 √3 に関連するパンルベ VI の解から生じる分岐構造のモノドロミーおよび幾何的不変量は何か？
• RQ3 P^2 上で双対分岐構造と、2つの分岐構造を入れ替える対合を明示的にどのように記述できるか？
• RQ4 得られた P^2 上の分岐構造がKodaira次元 -∞ および ν = 1 を有するか？ これによりそのモジュラリティが確認されるか？
• RQ5 この多様体は、PSL_2(Z[√3]) が双円板上で作用するヒルベルトモジュラー多様体の二重被覆であるか？

主な発見

• 本稿は、明示的な1形式 ω と τ を用いて、双有理的モデルとしてのヒルベルトモジュラー多様体を、(P^2, {F_ω, G_τ}) として構成する。
• Kodaira次元不変量（kod = -∞ および ν = 1）を用いて、分岐構造 F_ω がモジュラーであることが示される。
• P^2 上に明示的な双有理的対合 σ が存在し、F_ω と G_τ を交換することを確認し、双対性を裏付ける。
• この多様体は、PSL_2(Z[√3]) に関連するヒルベルトモジュラー多様体の二重被覆であることが確認され、そのモジュラー起源が裏付けられる。
• この構成により、PSL_2(Z[√3]) のHurwitz-Maass拡張が、分岐構造のモノドロミー群として実現される。
• 本手法により、[MP05] での既存の構成とは異なる、引き戻しで得られない新しい非引き戻しモジュラー分岐構造の例が得られる。