[論文レビュー] Uncertainty principles for orthonormal bases

Philippe Jaming|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、調和解析における不確定性原理について包括的なサーベイを提示し、正規直交基底とその時間周波数局在性に焦点を当てる。本研究では、正規直交基底の関数とそのフーリエ変換の分散が、ヘルミート基底のそれらよりも速やかに増大することを確立し、H. シャピロの未発表結果の定量的改良を提供する。さらに、ベンデリックスの不確定性原理とシュレーディンガー方程式の解におけるエネルギー散逸の関係を示す。

ABSTRACT

In this survey, we present various forms of the uncertainty principle (Hardy, Heisenberg, Benedicks). We further give a new interpretation of the uncertainty principles as a statement about the time-frequency localization of elements of an orthonormal basis, which improves previous unpublished results of H. Shapiro. Finally, we show that Benedicks' result implies that solutions of the Shrödinger equation have some (appearently unnoticed) energy dissipation property.

研究の動機と目的

• 不確定性原理のさまざまな定式化、すなわちハーディの定理、ハイゼンベルクの定理、ベンデリックスの定理を統一的かつ拡張する。
• 正規直交基底の時間周波数局在性を定量的に特徴づけ、H. シャピロの未発表結果を改善する。
• ベンデリックスの不確定性原理が、compactly な初期データを持つシュレーディンガー方程式の解に対して非自明なエネルギー散逸性質を示すことを示す。
• 自由熱方程式およびシュレーディンガー方程式の解を用いて古典的不確定性原理を再定式化し、新たな動的解釈を明らかにする。

提案手法

• ヘルミート作用素のスペクトル論を用いてハイゼンベルクの不確定性原理を証明・精緻化し、ヘルミート関数が時間周波数分散を最小化することを示す。
• ヘルミート作用素のスペクトル分解を応用し、任意の正規直交基底における分散積の下界を導出する。
• 消滅対および強消滅対の理論を用いて、有限測度の集合の外側における $ L^2 $-ノルムを制御する。
• 自由熱方程式およびシュレーディンガー方程式の解を通じて不確定性原理を再定式化し、フーリエ乗数表現を用いる。
• デルサルト、ランダウ、スレピアンのエネルギー集中および局所的不確定性に関する結果を応用し、$ L^2 $-関数に点単位で支配される正規直交列の関数数を束縛する。
• ハリーの定理およびデマンジュの証明技法を用いて、崩壊速度を分析し、ガウス型崩壊を示す関数を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規直交基底の関数の分散は、時間周波数局在性の観点からヘルミート基底のそれらと比べてどのように異なるか？
• RQ2 正規直交基底の分散の最小可能な増加率は何か？ そしてこれは不確定性原理とどのように関係するか？
• RQ3 ベンデリックスの不確定性原理を用いて、シュレーディンガー方程式の解における動的エネルギー散逸性質を導くことができるか？
• RQ4 正規直交列が単一の $ L^2 $-関数によって点単位で支配可能となる条件は何か？ そしてこのような関数は最大でいくつ存在できるか？
• RQ5 不確定性原理は、熱方程式およびシュレーディンガー方程式の解の時間発展においてどのように現れるか？

主な発見

• 任意の $ L^2({\mathbb{R}}) $ 内の正規直交基底の分散は、ヘルミート基底のそれらよりも速やかに増大し、等号成立はヘルミート基底の場合に限る。
• 正規直交列 $ (f_k) $ が、ある $ g \in L^2({\mathbb{R}}) $ に対して almost everywhere で $ |f_k(x)| \leq g(x) $ を満たすならば、その列は有限であり、$ \#I \leq 3^{8(20C/\sqrt{2p-1})^{4/(2p-1)}} $ が成り立つ。ここで $ C = \|g\|_{L^p} $ である。
• $ p > 3/2 $ のとき、このような関数の数は $ 4(800C^2/(2p-1))^{2/(2p-3)} $ で束縛され、$ 1 < p \leq 3/2 $ のときには $ 32(20C)^{2/(2p-3)} $ で束縛される。
• 有限測度の集合に台を持つ初期データを持つシュレーディンガー方程式の解は、任意の有限測度の集合の外側でエネルギーを散逸する。これはベンデリックスの定理の結果である。
• $ \widehat{v_0} $ が $ [-a,a] $ に台を持つならば、$ \|v(\cdot,t)\|_{L^2(\mathbb{R} \setminus S)} \geq D(S,[-a,a]) e^{-\pi a^2 t} \|v_0\|_{L^2} $ が成り立ち、持続的なエネルギー拡散を示す。
• 強消滅対 $ (S,\Sigma) $ に対して、解の $ S $ 外部における $ L^2 $-ノルムは $ D(S,\Sigma) \|v_0\|_{L^2} $ で下から抑えられ、有限時間での局在化は不可能であることを示す。