[論文レビュー] Uncertainty quantification for hyperbolic conservation laws with flux coefficients given by spatiotemporal random fields

Andrea Barth, Franz Fuchs|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、フラックス係数を空間時間的確率場としてモデル化した双曲型保存則における不確実性量化のためのモンテカルロ有限体積法を提案する。空間的成分は相関のあるガウス確率場、時間的成分はオーナイユ過程として扱う。この手法により、解の統計的モーメント（平均と分散）の堅牢な計算が可能となり、磁気誘導と線形音響における背景速度場の確率的特性を有する応用事例を通じて検証された。収束性が確認され、平均と分散における複雑な解構造を捉えている。

ABSTRACT

In this paper hyperbolic partial differential equations with random coefficients are discussed. We consider the challenging problem of flux functions with coefficients modeled by spatiotemporal random fields. Those fields are given by correlated Gaussian random fields in space and Ornstein-Uhlenbeck processes in time. The resulting system of equations consists of a stochastic differential equation for each random parameter coupled to the hyperbolic conservation law. We define an appropriate solution concept in his setting and analyze errors and convergence of discretization methods. A novel discretization framework, based on Monte Carlo Finite Volume methods, is presented for the robust computation of moments of solutions to those random hyperbolic partial differential equations. We showcase the approach on two examples which appear in applications: The magnetic induction equation and linear acoustics, both with a spatiotemporal random background velocity field.

研究の動機と目的

• フラックス係数が時間的・空間的依存の確率場としてモデル化される双曲型保存則における不確実性量化の課題に取り組む。
• 確率的パラメータを記述する双曲型偏微分方程式と確率微分方程式（SDE）の連立系に対する解概念を構築する。
• 高次元の正則性を要求しない確率変数に対しても、統計的モーメント（平均と分散）を計算する非侵襲的かつ堅牢な数値フレームワークを提供する。
• 物理的に意味のある問題として、磁気誘導方程式と確率的背景速度場を有する線形音響問題に対して手法を検証する。
• 確率的双曲型系の文脈において、提案された離散化スキームの収束性と誤差挙動を確立する。

提案手法

• フラックス係数を空間時間的確率場としてモデル化し、空間的成分を相関のあるガウス確率場、時間的成分をオーナイユSDEの解として扱う。
• 連立系を、空間時間ノイズによって駆動されるSDEに従って変化する確率的フラックス関数を有する双曲型保存則として定式化する。
• モンテカルロ有限体積（MC FV）フレームワークを実装：確率場の実現値をサンプリングし、各サンプルに対して一次安定迎え込みスキームを用いて確定的双曲型PDEを解く。
• M個のモンテカルロサンプルに対するアンサンブル平均を用いて、解の統計的モーメント（平均と分散）を近似する。
• 速度場を記述するオーナイユ過程の時間的離散化にミルシュタインスキームを用いる。
• 磁気誘導方程式に対して周期的境界条件と発散なし初期条件を適用し、シミュレーションにおける物理的一致性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間的確率場によって駆動されるフラックス係数を有する双曲型保存則に対して、一貫性のある解概念をどのように定義できるか？
• RQ2 このような確率的双曲型系にモンテカルロ有限体積法を適用した際の収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 物理的応用において、確率的背景速度場が作用する下で、解の統計的モーメント（平均と分散）はどのように変化するか？
• RQ4 提案手法は、確率的パラメータに関して正則性が乏しい解に対しても、gPC法やコロケーション法の制限を避ける形で効果的に処理できるか？
• RQ5 磁気誘導や音響のような系における確率的対流の影響により、解の分散にどのような構造的特徴が現れるか？

主な発見

• 提案されたモンテカルロ有限体積法は、第一および第二の統計的モーメントの期待される収束率を達成しており、第二モーメントではより大きな誤差定数を示している。
• 平均解の構造は、単一の確定的シミュレーションと類似しており、アンサンブル平均が支配的な波動伝播行動を捉えていることが示唆される。
• 解の分散は、確率的速度場が波の歪みや対流に与える影響を反映した、複雑で非自明な空間的構造を示している。
• t=0.75における256×256メッシュ上での磁気誘導方程式の数値結果は、確率的速度場による初期磁場の対流および歪みが明確に観察された。
• この手法は堅牢で非侵襲的であり、一般化多項式クラウド（gPC）などの侵襲的手法の高コストを回避し、確率的パラメータに低正則性が見られる問題に適している。
• 本フレームワークは三次元問題やより複雑なSDEまたはSPDEを有する確率的場への拡張が可能であり、将来は効率性を高めるためにGPU加速マルチグリッドソルバーの実装を計画している。