[論文レビュー] Unconditional Quantum Advantage for Sampling with Shallow Circuits

Adam Bene Watts, Natalie Parham|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2023

Machine Learning and Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、浅い量子回路を用いたサンプリングタスクにおける無条件の量子優位性を確立する。具体的には、定数深さの量子回路によって効率的にサンプリング可能な分布 Dn を構築し、Dn を総変動距離内で近似するには、エントロピー 1/k の i.i.d. ランダム入力が kn + nδ 個必要な、有界ファンインの古典的回路が Ω(log log n) の深さを必要とすることを証明する。この結果は、複雑性理論的予想に依存せず、古典的アドバイスや無限のランダム入力を持つ設定へも拡張可能である。

ABSTRACT

Recent work by Bravyi, Gosset, and Koenig showed that there exists a search problem that a constant-depth quantum circuit can solve, but that any constant-depth classical circuit with bounded fan-in cannot. They also pose the question: Can we achieve a similar proof of separation for an input-independent sampling task? In this paper, we show that the answer to this question is yes when the number of random input bits given to the classical circuit is bounded. We introduce a distribution $D_{n}$ over $\{0,1\}^n$ and construct a constant-depth uniform quantum circuit family $\{C_n\}_n$ such that $C_n$ samples from a distribution close to $D_{n}$ in total variation distance. For any $δ< 1$ we also prove, unconditionally, that any classical circuit with bounded fan-in gates that takes as input $kn + n^δ$ i.i.d. Bernouli random variables with entropy $1/k$ and produces output close to $D_{n}$ in total variation distance has depth $Ω(\log \log n)$. This gives an unconditional proof that constant-depth quantum circuits can sample from distributions that can't be reproduced by constant-depth bounded fan-in classical circuits, even up to additive error. We also show a similar separation between constant-depth quantum circuits with advice and classical circuits with bounded fan-in and fan-out, but access to an unbounded number of i.i.d random inputs. The distribution $D_n$ and classical circuit lower bounds are inspired by work of Viola, in which he shows a different (but related) distribution cannot be sampled from approximately by constant-depth bounded fan-in classical circuits.

研究の動機と目的

• 定数深さの量子回路と有界ファンインの古典的回路の間で、サンプリングタスクに関して無条件の分離を確立すること。
• 定数深さの量子回路によって効率的にサンプリング可能な {0,1}^n 上の分布 Dn を構築すること。
• 有界ファンインで限られたランダム入力（エントロピー 1/k の i.i.d. ベルヌーイ変数が kn + nδ 個）を用いる任意の古典的回路が、Dn を総変動距離内で近似できるためには、深さが Ω(log log n) 必要であることを証明すること。
• 古典的アドバイスや無限のランダム入力を持つ設定への分離の拡張を図ること。

提案手法

• ビオラの分布の変種に基づき、p-修正マジョリティ関数を用いて構造を符号化することで、{0,1}^n 上の分布 Dn を構築する。
• Dn に近い分布を総変動距離でサンプリングできる定数深さの均一な量子回路族 {Cn} を設計する。
• エントロピーと情報理論的境界を用いて、Y-固定ブロックを条件とした出力の条件付きエントロピーを分析し、古典的回路の表現力に上限を設ける。
• 偏ったベルヌーイ確率変数と Fact 22（Fact 59）の修正版を用い、偏った変数の線形結合と mod p における一様分布との間の総変動距離を評価する。
• 古典的回路の挙動と量子サンプリングの整合性を結びつけるために、'Y-固定'および'y-固定'ブロックの概念を導入する。
• 集中とバイアスに配慮したテールバウンドを用いて、出力がターゲット集合 T の外側に落ちる確率を分析することで、古典的回路の深さに関する下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅い量子回路を用いたサンプリングタスクにおいて、無条件の量子優位性を確立できるか？
• RQ2 定数深さの量子回路によって効率的にサンプリング可能だが、限られたランダム入力を持つ有界ファンインの古典的回路ではサンプリングできないような分布 Dn が存在するか？
• RQ3 エントロピー 1/k の i.i.d. ベルヌーイ入力が kn + nδ 個与えられた有界ファンインの古典的回路が、Dn を総変動距離内で近似できるための最小深さは何か？
• RQ4 古典的回路がアドバイスを用い、無限の i.i.d. ランダム入力にアクセスできる場合にも、この分離は拡張可能か？

主な発見

• 量子回路族 {Cn} は、Dn から O(1/log n) の総変動距離内での分布をサンプリングする。
• エントロピー 1/k の i.i.d. ベルヌーイ入力が kn + nδ 個必要な有界ファンインの古典的回路が、Dn を総変動距離内で近似できるためには、深さが Ω(log log n) 必要である。
• 下界は、複雑性理論的予想に依存せず、無条件に成立する。
• 限られたランダムネスを持つ古典的回路がターゲット集合 T から外れる確率は 1/2 + O(1/log n) で抑えられ、非自明な優位性が確立される。
• この結果は、アドバイス付きおよび無限の i.i.d. ランダム入力へのアクセスを持つ古典的回路に対しても拡張可能であり、同様の深さの分離が成立する。
• 分析には、非一様分布のモジュラー算術におけるより鋭い制御を可能にする、修正版のバイアスに配慮した総変動距離バウンド（Fact 59）が用いられる。