[論文レビュー] Unconstrained degrees of freedom for gravitational waves, $\beta$--foliations and spherically symmetric initial data

Jacek Jezierski, Jerzy Kijowski|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、重力初期データにおける非制約自由度のための1パラメータ族のゲージ選択（β-葉層構造）を導入し、先行研究におけるβ=0の場合を一般化する。時空の3+1分解にβに依存するゲージ条件を課すことにより、重力自由度を（wk, sl）でパラメータ化し、重力波の2つの物理的偏光を分離するシンプレクティック還元を実現する。主な結果は、シュバルツシルト初期データにおける準局所的エネルギー含量がβに依存することであり、スカラー制約の表面積分がβ=1, 1/2, 0のそれぞれでADM質量の1/2, 3/4, 1に相当することを示しており、エネルギー局在性がβに依存することを明らかにする。

ABSTRACT

A new parameterization of unconstrained degrees of freedom for gravitational field, used in Classical and Quantum Gravity {\\bf 11}, 1055-1068 (1994), has been generalized to one-parameter family of such parameterizations, depending on a real parameter $\\beta \\in [0,2]$. The description introduced in CQG 11, 1055 corresponds to the special choice $\\beta=0$. The method is closely related to the proof of the positivity of the energy presented in Phys. Rev. D {\\bf 36}, 1041-1044 (1987) where $\\beta$-foliations have been introduced (see also applications to black holes dynamics in Classical and Quantum Gravity {\\bf 6}, 1535-1539 (1989) and Acta Physica Polonica B {\\bf 25}, 1413-17 (1994)). Spherically symmetric initial data corresponding to trivial degrees of freedom is analyzed along these lines. In particular, the quasi-local energy content of the Schwarzschild initial data is analyzed for different choices of the $\\beta$-gauge.

研究の動機と目的

• β=0から1パラメータ族β∈[0,2]への非制約的重力自由度のパラメータ化の一般化を目的とする。
• βに依存するゲージ条件を用いた初期データ位相空間のシンプレクティック還元を構築することを目的とする。
• 球対称初期データ（特にシュバルツシルトデータ）における準局所的エネルギー含量を、異なるβゲージ下で分析することを目的とする。
• スカラー制約におけるエネルギー局在性がβに依存することを示し、事象の地平線の内側と外側からの質量寄与が異なることを明らかにすることを目的とする。

提案手法

• β∈[0,2]でパrameter化された1パラメータ族のゲージ条件を導入し、(11)および(12)のベクトル制約、および(10)のスカラー制約を含む。
• 2次元球面上の共形構造を用いて、3次元計量gkl、運動量Pkl、およびβの関数として、縮小位相空間変数(wk, sl)を定義する。
• ゲージ条件を課す：(10)はP33/g33 + βS = 0を設定し、(11)は∂k(wk/r²)=0を強制し、(12)は2次元計量をσAB（単位球面）に固定する。
• 運動量をトレースレス部とトレース部に分解することで、残余ゲージ自由度を排除するためのポテンシャルφおよびϕを導入し、縮小されたシンプレクティック形式を導出する。
• 球対称の場合にスカラー制約(26)を解き、Sの表面積分を計算することで、準局所的質量を求める。
• シュバルツシルト初期データをβ=1（共形ゲージ）、β=1/2（調和ゲージ）、β=0（逆平均曲率流れ）の各状況で分析し、異なるゲージ下でのエネルギー含量を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β-葉層構造ゲージにおけるβの選択が、初期データにおける非制約的重力自由度のパラメータ化にどのように影響するか？
• RQ2 パrameter βが球対称初期データの準局所的エネルギー含量を決定する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 異なるβゲージ（例えば共形、調和、逆平均曲率）がスカラー制約の解釈およびそれによる質量積分にどのように影響を与えるか？
• RQ4 スカラー制約の表面積分を準局所的質量と解釈できるか？ その値はβにどのように依存するか？
• RQ5 シュバルツシルト初期データにおけるADM質量のβ依存的分割の物理的意味は何か？

主な発見

• β=1（共形ゲージ）の場合、S(r)上のスカラー制約Sの表面積分は、r=m/2でADM質量の半分を、無限遠で全質量を返す。
• β=1/2（調和ゲージ）の場合、表面積分はr=m/2でADM質量の3/4を、無限遠で全質量を返す。
• β=0（逆平均曲率流れ）の場合、表面積分は各球面上で一定であり、準局所的質量として機能し、ペンローズ不等式と整合的である。
• スカラー制約(26)は明示的に、エネルギー密度がβに依存する成分に分解されることを示しており、g33の径方向勾配を支配する項にβ(2−β)が関与している。
• 縮小位相空間は(wk, sl)でパラメータ化され、ポテンシャルφおよびϕを用いて残余ゲージ自由度が除去され、シンプレクティック形式はdD3∧dA3およびd(εBC∂BDC)∧dϕを含む。
• 球対称の場合、sA = wA = 0およびw3 = r²σであり、制約は方程式(24)および(25)に簡略化され、球対称下で解かれた結果SAB=0およびs3が一定となることが確認され、既知の解と整合的である。