[論文レビュー] Uncountable groups with Property (FH)

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、不可算な群に (FH) を持つ群を構成し、不可算な設定において (FH) がカジワンの (T) を意味しないことを示している。デルザントの埋め込み定理と ω₁-存在的閉じた群の性質を用いて、すべての群が (FH) を持つ群に埋め込まれることを示し、また、有限の完全群 G と不可算な添え字集合 I に対して、G^I の直積が強く有界であることを証明している。このため、(FH) を持つことになる。

ABSTRACT

Abstract. A group has Property (FH) if every isometric action on a Hilbert space has a fixed point. We exhibit some uncountable groups with Property (FH). In particular, these groups do not have Kazhdan’s Property (T), which is known to be equivalent to Property (FH) for countable groups. Our first examples rely on a theorem of Delzant, which states that every countable group embeds in a group with Property (T). We deduce that every ω1-existentially closed group has Property (FH), so that every group embeds in a group with Property (FH). Next we prove that, if G is a finite perfect group, and I is a set, then G I has Property (FH). We actually prove something stronger. We say that a group is strongly bounded if every isometric action on a metric space has bounded orbits. This latter property is equivalent, for infinite groups, to the so-called uncountable strong cofinality. We show that G I is strongly bounded. This strengthens a result of Koppelberg and Tits. In this paper, all groups are discrete. 1.

研究の動機と目的

• 不可算な設定において (FH) がカジワンの (T) を意味するかを調査すること。
• (T) を持たない不可算な群に (FH) を持つ群を構成すること。
• 有限の完全群 G の不可算添え字集合 I における直積 G^I について、既知の (FH) と強有界性の結果を拡張すること。
• ω₁-存在的閉じた群と (FH) の関係を調べること。

提案手法

• すべての可算群が (T) を持つ群に埋め込まれるというデルザントの定理を活用し、不可算な (FH) を持つ群を構成する。
• ω₁-存在的閉じた群を分析して、それらが (FH) を必然的に持つことを示し、すべての群がこのような群に埋め込まれることを示す。
• 有限の完全群 G と不可算な添え字集合 I に対して、G^I の直積が強く有界であることを証明し、(FH) を示す。
• 無限群において強有界性と不可算な強い共終点の性質が同値であることを用いて、結果を確立する。
• 強く有界な群は (FH) を持つことを利用して、G^I に対してその性質を導く。
• 距離空間と等長群作用を用いた群論的技法を用いて、有界な軌道を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (T) を持たない不可算な群に (FH) を持つものが存在するか？
• RQ2 すべての群が (FH) を持つ群に埋め込めるか？
• RQ3 有限の完全群 G と不可算な添え字集合 I に対して、G^I の直積が強く有界か？
• RQ4 ω₁-存在的閉じた群と (FH) の関係は何か？
• RQ5 不可算な設定において、強有界性は (FH) を意味するか？

主な発見

• すべての ω₁-存在的閉じた群は (FH) を持つ。これは、すべての群が (FH) を持つ群に埋め込まれることを意味する。
• 有限の完全群 G と不可算な添え字集合 I に対して、G^I の直積は強く有界であり、すべての等長群作用が距離空間上で有界な軌道を持つことを意味する。
• G^I は (FH) を持つ。なぜなら、無限群において強有界性は (FH) を意味するからである。
• この構成により、 (T) を持たない不可算な群に (FH) を持つものが得られ、不可算な場合に (FH) と (T) が同値でないことが示された。
• この結果は、コッペルベルクとティーツによる、不可算積に関する強有界性に関する先行研究を強化している。
• 不可算な強い共終点は無限群において強有界性と同値であることが確立され、新たな特徴付けが得られた。