[論文レビュー] Understanding Geometric Scaling at Small x

Edmond Iancu, Ken Itakura+1 more|ArXiv.org|May 18, 2002

High-Energy Particle Collisions Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、BFKL進化方程式を飽和境界条件に一致させることで、小 $x$ における深く非弾性散乱における幾何的スケーリングの起源を解明している。その結果得られる解は、$Q^2 \sim 100~\text{GeV}^2$ まで幾何的スケーリングを示し、これは $\xi = Q^2 R_0^2(x)$ のみに依存する。このスケーリングは、$1 \lesssim \ln(Q^2/Q_s^2) \ll \ln(Q_s^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)$ の領域で成り立ち、HERAのデータと整合的である。

ABSTRACT

Geometric scaling is a novel scaling phenomenon observed in deep inelastic scattering at small x: the total virtual photon-proton cross section depends upon the two kinematical variables Q^2 and x only via their combination Q^2 R_0^2(x), with R_0^2(x) \propto x^λ. At sufficiently low Q^2, below the saturation scale Q_s^2(x) (a few GeV^2), this phenomenon finds a natural explanation as a property of the Color Glass Condensate, the high-density matter made of saturated gluons. To explain the experimental observation of geometric scaling up to much higher values of Q^2, of the order of 100 GeV^2, we study the solution to the BFKL equation subjected to a saturation boundary condition at Q^2\sim Q_s^2(x). We find that the scaling extends indeed above the saturation scale, within a window 1 < \ln(Q^2/Q_s^2) << \ln(Q_s^2/Λ^2_{ m QCD}), which is consistent with phenomenology.

研究の動機と目的

• HERAデータにおける $Q^2 \sim 100~\text{GeV}^2$ まで続く幾何的スケーリングを、飽和スケールが僅か数 GeV$^2$ であるにもかかわらず説明すること。
• $Q_s^2$ よりも低い領域で有効なカラーレースコンデンゲートの図像と、より高い $Q^2$ での観測されたスケーリングを調和させること。
• BFKL方程式が $Q^2 \sim Q_s^2(x)$ で飽和境界条件を満たす場合、$Q_s^2$ よりも高い有限な領域でも幾何的スケーリングが保存されることを示すこと。
• BFKL解がスケーリング関数に近似する運動量領域を導出し、線形BFKL近似の物理的有効性と結びつけること。

提案手法

• 飽和領域におけるBalitsky-Kovchegov（BK）方程式を解き、$Q_s^2(\tau) \propto \exp(c\bar{\alpha}_s \tau)$ と得られ、$c \approx 4-5$ であることを導出する。
• 境界条件 $\mathcal{N}_\tau(r_\perp = 1/Q_s) = 1$ を用いて、線形BFKL解を $Q^2 \sim Q_s^2(\tau)$ で飽和境界に一致させる。
• $\ln(Q^2/Q_s^2)$ のべき級数展開において、最初の非ゼロ項を残して、$Q_s^2$ のまわりでBFKL解 $\mathcal{N}_\tau(r_\perp)$ を展開する。
• ドライプル断面積におけるスケーリング挙動 $\sigma_{\gamma^*p} \sim (Q^2/Q_s^2)^{-\lambda_s}$ を特定し、$\lambda_s$ が $\tau$ に依存しないことから幾何的スケーリングが成立することを示す。
• BFKL解の鞍点近似を用いて、横断空間におけるスケール不変性を持つBFKLカーネルのおかげでスケーリングが保存されることを示す。
• BFKL解がスケーリング関数に近似する運動量領域 $1 \lesssim \ln(Q^2/Q_s^2) \ll \ln(Q_s^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、飽和スケールが僅か数 GeV$^2$ であるにもかかわらず、HERAデータでは $Q^2 \sim 100~\text{GeV}^2$ まで幾何的スケーリングが維持されるのか？
• RQ2 線形なBFKL方程式が、$Q^2 \sim Q_s^2$ で飽和境界条件を満たす場合、幾何的スケーリングを再現できるのか？
• RQ3 $Q_s^2$ を超える領域で、BFKL解が近似的に幾何的スケーリングを示す運動量領域はどこか？
• RQ4 BFKL解が $Q^2 \sim Q_s^2$ で飽和領域に一致する場合、スケーリング挙動はどのように保存されるのか？
• RQ5 BFKL解の $Q_s^2$ 以上の領域におけるスケーリング指数 $\lambda_s$ は何か？なぜこれはラピディティに依存しないのか？

主な発見

• 幾何的スケーリングは、$\ln(Q^2/Q_s^2) \ll \ln(Q_s^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)$ である限り、飽和スケール $Q_s^2$ を超えても維持される。この運動量領域は、$Q_s \sim 1\text{--}2~\text{GeV}$ の場合、$Q^2 \sim 25\text{--}400~\text{GeV}^2$ に対応する。
• BFKL解が $Q^2 \sim Q_s^2$ で飽和境界に一致した場合、ドライプル断面積は $\sigma_{\text{dipole}} \sim (Q^2/Q_s^2)^{-\lambda_s}$ とスケーリングし、$\lambda_s$ がラピディティ $\tau$ に依存しないため、幾何的スケーリングが確認される。
• スケーリング指数 $\lambda_s$ は $Q = Q_s$ における $\ln \mathcal{N}_\tau(Q)$ の微分で決まり、定数として得られ、これによりスケーリング性が保たれる。
• BFKL解の形 $\mathcal{N}_\tau(Q) \simeq (Q^2/Q_s^2)^{-\lambda_s} \exp\left\{ -\frac{1}{2\beta\bar{\alpha}_s\tau} \left(\ln\frac{Q^2}{Q_s^2}\right)^2 \right\}$ は2次項展開であり、係数が小さいため、ほぼスケーリング関数に近い。
• BFKL解がスケーリングを近似する領域（$\ln(Q^2/Q_s^2) \ll \ln(Q_s^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)$）は、BFKLの鞍点近似の有効領域（$\ln(Q^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2) \ll 8\bar{\alpha}_s\tau$）とほぼ一致する。
• BFKL解と $Q_s^2$ での飽和基準を一致させることで、$Q_s^2(\tau) \propto \exp(c\bar{\alpha}_s\tau)$ の係数 $c$ が $c \approx 4\text{--}5$ であることが特定された。