[論文レビュー] Unified discrete multisymplectic Lagrangian formulation for hyperelastic solids and barotropic fluids

François Demoures, François Gay–Balmaz|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2021

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ひとこと要約

本稿では、時空多シンプレクティック枠組みを用いて、超弾性固体内および等エントロピー流体の統一的な幾何的変分離散化を提示する。離散的歪み勾配、コーシー＝グリーンテンソル、ヤコビアンを定義することで、対称性を正確に保存し、エネルギーをほぼ保存する構造保存型数値積分法を可能にする。体積力と不透過性制約はペナルティ項を介して自然に組み込まれる。本手法により、2次元および3次元における流体-構造連成の安定的で長期的なシミュレーションが可能となる。

ABSTRACT

We present a geometric variational discretization of nonlinear elasticity in 2D and 3D in the Lagrangian description. A main step in our construction is the definition of discrete deformation gradients and discrete Cauchy-Green deformation tensors, which allows for the development of a general discrete geometric setting for frame indifferent isotropic hyperelastic models. The resulting discrete framework is in perfect adequacy with the multisymplectic discretization of fluids proposed earlier by the authors. Thanks to the unified discrete setting, a geometric variational discretization can be developed for the coupled dynamics of a fluid impacting and flowing on the surface of an hyperelastic body. The variational treatment allows for a natural inclusion of incompressibility and impenetrability constraints via appropriate penalty terms. We test the resulting integrators in 2D and 3D with the case of a barotropic fluid flowing on incompressible rubber-like nonlinear models.

研究の動機と目的

• 時空多シンプレクティック形式を用いて、2次元および3次元における非線形弾性の幾何的で変分的な離散化を構築すること。
• 共通の変分枠組みの下で、超弾性固体内および等エントロピー流体の離散的幾何的取り扱いを統一すること。
• 正確な対称性保存と体積力・不透過性制約の自然な組み込みを備えた、安定的で長期的な流体-構造連成シミュレーションを可能にすること。
• 時空配置写像から直接得られる離散的幾何的対象（歪み勾配、コーシー＝グリーンテンソル、ヤコビアン）を構築すること。

提案手法

• 物体の時空離散的配置写像から離散的歪み勾配を定義する。
• 離散的歪み勾配から離散的コーシー＝グリーンテンソルおよびヤコビアンを構築し、フレーム不変性と等方性を保証する。
• 等方的超弾性モデルのための保存エネルギー関数を離散的コーシー＝グリーンテンソル上に定義し、離散ラグランジアンを構築する。
• 離散作用関数にペナルティ項を導入することで、体積力および不透過性制約を組み込む。
• 時間にシンプレクティックで、運動量マップを保存し、エネルギーをほぼ保存する時空多シンプレクティック積分法を導出する。
• 不透過性制約を通じて離散的流体および固体の定式化を結合することで、流体-構造連成に本フレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超弾性固体内および等エントロピー流体の両者に対して、統一的な離散的幾何的枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 変分的離散化においてフレーム不変性と等方性を保つために必要な離散的幾何的対象（例：歪み勾配、コーシー＝グリーンテンソル）は何か？
• RQ3 体積力および不透過性制約を、変分的多シンプレクティック積分法に自然に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 得られた積分法が、シンプレクティシティ、運動量保存、エネルギーのほぼ正確な保存といった主要な幾何的構造を保持できるか？
• RQ5 本手法は、2次元および3次元における流体-構造連成の長期的シミュレーションにおいて、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 離散的歪み勾配、コーシー＝グリーンテンソル、ヤコビアンは、時空配置写像から一貫して定義され、等方的超弾性モデルの体系的取り扱いを可能にする。
• 得られた数値積分法は時空多シンプレクティックであり、時間にシンプレクティックで、長期的安定性と正確な運動量保存を保証する。
• 離散作用関数におけるペナルティ項を介して、体積力制約が自然に組み込まれる。
• 流体と固体間の不透過性制約は、変分的定式化におけるペナルティ関数を介して実装され、安定的な流体-構造連成シミュレーションを可能にする。
• 2次元および3次元における数値実験により、ステイン・ヴェナント＝キルホフおよびムアニー＝リヴリンモデルを用いた、不透過性のゴム状固体上での等エントロピー流体の流れに対して、本手法のロバスト性と精度が確認された。
• 離散的変分的枠組みにより、共変ネーターの定理を用いた離散運動方程式の体系的導出が可能となり、対称性の保存が保証される。