[論文レビュー] Uniform and Pointwise Shape Preserving Approximation by Algebraic Polynomials

Kirill A. Kopotun, D. Leviatan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 57被引用数 33

ひとこと要約

本調査は、有限区間における代数多項式による一様および点wiseの形状保存近似（SPA）を包括的にレビューし、単調性、凸性、q-単調性に焦点を当てる。SPAは関数の形状を保存するが、一般に制約なし近似より近似度が悪いことが示され、スムーズネスのモジュラスを用いた正確な定量的推定と、近似タイプ間の比較を通じて、分野における主要な差異と未解決問題が明らかにされた。

ABSTRACT

We survey developments, over the last thirty years, in the theory of Shape Preserving Approximation (SPA) by algebraic polynomials on a finite interval. In this article, "shape" refers to (finitely many changes of) monotonicity, convexity, or q-monotonicity of a function (for definition, see Section 4). It is rather well known that it is possible to approximate a function by algebraic polynomials that preserve its shape (i.e., the Weierstrass approximation theorem is valid for SPA). At the same time, the degree of SPA is much worse than the degree of best unconstrained approximation in some cases, and it is "about the same" in others. Numerous results quantifying this difference in degrees of SPA and unconstrained approximation have been obtained in recent years, and the main purpose of this article is to provide a "bird's-eye view" on this area, and discuss various approaches used. In particular, we present results on the validity and invalidity of uniform and pointwise estimates in terms of various moduli of smoothness. We compare various constrained and unconstrained approximation spaces as well as orders of unconstrained and shape preserving approximation of particular functions, etc. There are quite a few interesting phenomena and several open questions.

研究の動機と目的

• 有限区間における代数多項式による一様および点wiseの形状保存近似（SPA）の過去30年間の研究を包括的に概説すること。
• 制約付き（形状保存）近似と制約なし多項式近似の間の近似度の差を定量的に評価すること。
• Ditzian-Totik型およびNikolskii型を含むさまざまなスムーズネスモジュラスを用いた一様および点wise推定の妥当性と非妥当性を分析すること。
• 特に滑らかさおよび形状の性質を有する関数について、制約なしと形状保存近似の近似空間および近似順序を比較すること。
• 特に単調性、凸性、q-単調性の文脈において、SPAにおける未解決問題と重要な現象を強調すること。

提案手法

• 著者たちは、過去30年のSPA分野の研究結果を体系的に調査する手法を採用し、単調性・凸性・q-単調性が制御された関数の近似に焦点を当てる。
• 主な技術として、特にDitzian-Totik型およびNikolskii型のスムーズネスモジュラスを用い、一様および点wiseの両設定における近似誤差を推定する。
• 近似のための明確なケースを導入・分析する：'⊕'（関数に依存する定数を伴う有効な点wise推定）、'⊖'（無効な推定）、および's ≥ 2'の共凸近似における中間ケース'⊘'。
• 近似空間（例：Δ(q)）と制約なしのものとの比較を行い、ノルムと誤差推定を用いて近似順序を評価する。
• 理論的結果は、Whitney型不等式およびJackson-Stechkin型推定を用いて導出され、n, r, k, qなどのパrameterに依存する関係に特に注意を払う。
• 誤差推定の妥当性に関する詳細な表を提示し、基礎的および最近の研究への参照を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-単調近似における点wiseおよび一様推定が成立する条件は何か。また、いつ無効となるか。
• RQ2 誤差の減衰率という観点から、形状保存近似の近似度は制約なし近似と比べてどの程度異なるか。
• RQ3 Ditzian-Totik型およびNikolskii型モジュラスは、形状保存近似の誤差をどのように定量的に評価するか。
• RQ4 共凸および共単調近似における'⊕'、'⊘'、'⊖'のケースの違いは何か。また、それらは誤差推定にどのように影響するか。
• RQ5 与えられた滑らかさおよび形状制約を有する関数について、制約なし近似と形状保存近似の間でα-関係が成立するか。

主な発見

• q ≥ 4 の q-単調近似では、|f(x)−Pn(x)| ≤ c(k,r)ρn^r(x)ωk(f^(r),ρn(x)) の形の点wise推定が成り立ち、cはk, r, fに依存するが、すべてのfに対して一様ではない。
• s ≥ 2 の共凸の場合、'⊘' のケースが生じる：推定はfおよびYsに依存するcで成り立つが、fに依存しない普遍的なcでは成り立たない。
• 共単調近似では、Whitney型不等式 E_{k+r}^{(1)}(f,Ys) ≤ c(k,r,Ys)ωk(f^(r),1) が'⊕'ケースにおける点wise推定の妥当性を支持する。
• r ≥ 1 では、共単調近似において'⊕'ケースが成り立つが、r = 0 の場合はs ≥ 2 の場合に限る。
• 凸近似（q=2）では、'⊕'ケースにおいて |f(x)−Pn(x)| ≤ c(k,r)ρn^r(x)ωk(f^(r),ρn(x)) の推定が有効であり、LS2002, DGS2002, DLS2010a に言及する。
• 単調近似におけるα-関係は成立する：n^αEn(f) ≤ 1 ならば、n^αEn^{(1)}(f) ≤ c(α,N)（n ≥ N*）が成り立ち、近似順序の損失が制御されている。