[論文レビュー] Uniform Bounds for Scheduling with Job Size Estimates

Ziv Scully, Isaac Grosof+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2021

Optimization and Search Problems参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジョブサイズの推定値を用いた M/G/1 キューイング システムにおけるスケジューリング ポリシーとして、推定値が正確な場合に近似的に最適（近似比が1に近づく）であり、推定誤差が大きい場合でも性能劣化が限定的（近似比が有界）である、SRPT-B を提案する。このポリシーは誤差の上限 α と β を事前に知らないままに、両者の性質を満たす。本稿では、SRPT-B の近似比が 3.5α/β 以下であり、α, β → 1 のとき一様に1に近づくことを証明し、推定誤差を伴うスケジューリング分野における重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We consider the problem of scheduling to minimize mean response time in M/G/1 queues where only estimated job sizes (processing times) are known to the scheduler, where a job of true size $s$ has estimated size in the interval $[βs, αs]$ for some $α\geq β> 0$. We evaluate each scheduling policy by its approximation ratio, which we define to be the ratio between its mean response time and that of Shortest Remaining Processing Time (SRPT), the optimal policy when true sizes are known. Our question: is there a scheduling policy that (a) has approximation ratio near 1 when $α$ and $β$ are near 1, (b) has approximation ratio bounded by some function of $α$ and $β$ even when they are far from 1, and (c) can be implemented without knowledge of $α$ and $β$? We first show that naively running SRPT using estimated sizes in place of true sizes is not such a policy: its approximation ratio can be arbitrarily large for any fixed $β< 1$. We then provide a simple variant of SRPT for estimated sizes that satisfies criteria (a), (b), and (c). In particular, we prove its approximation ratio approaches 1 uniformly as $α$ and $β$ approach 1. This is the first result showing this type of convergence for M/G/1 scheduling. We also study the Preemptive Shortest Job First (PSJF) policy, a cousin of SRPT. We show that, unlike SRPT, naively running PSJF using estimated sizes in place of true sizes satisfies criteria (b) and (c), as well as a weaker version of (a).

研究の動機と目的

• ジョブサイズの推定値しか入手できない状況、特に乗法的誤差が存在する場合におけるスケジューリング ポリシーの理論的保証の欠如に取り組む。
• 推定値が不正確であっても、平均応答時間を低く保つ強力な性能を発揮するポリシーを設計するが、誤差の上限 α と β を事前に知る必要はない。
• 真のサイズが分かっている SRPT（最適ポリシー）に対する近似比を用いて、推定不確実性下でのスケジューリング ポリシーの評価を形式的に定式化するフレームワークを確立する。
• M/G/1 キューイング システムにおける (β, α)-有界推定値を前提とした、初めての理論的に強固で一貫性のあるスケジューリング ポリシーを提供する。両者の性質（一貫性と滑らかな劣化）を満たす。
• 推定誤差下における SRPT（推定値使用）と PSJF（推定値使用）および提案された SRPT-B ポリシーの性能を比較・対比する。

提案手法

• 乗法的誤差を持つ推定値を想定する (β, α)-有界推定モデルを定義する。ここで、ジョブの真のサイズ s に対して推定サイズは [βs, αs] の範囲にある。ただし α ≥ β > 0 とする。
• 推定値が小さくなると長時間ジョブが優先順位に回されないよう、SRPT の変種である SRPT-B を導入する。このポリシーには「バウンス」メカニズムが組み込まれており、誤差による不利益な優先順位の変更を防ぐ。
• M/G/1 キューイング理論とビジーパラメータ解析の結果を活用し、待ち時間の積分的境界を用いて SRPT-B の平均応答時間の解析を行う。
• 順位ベースのスケジューリングと尾確率の境界を用い、SRPT-B と PSJF-E の性能を最適 SRPT ポリシーと比較する。
• SRPT と PSJF の期待待ち時間成分と比較して、SRPT-B と PSJF-E の待ち時間成分の上限を導出し、近似比の上界を求める。
• 積分変換と条件付き期待値の技法を用いて、推定誤差下での応答時間比を有界化する。特に、ビジーパラメータ理論における要因 1/(1−ρ) を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョブサイズが乗法的誤差を伴って推定される場合、スケジューリング ポリシーが一貫性（近似比が α, β → 1 のとき1に近づく）と滑らかな劣化（すべての α ≥ β > 0 に対して近似比が有界）の両方を満たすことは可能か？
• RQ2 なぜ、推定値を用いて単純に SRPT を適用する（SRPT-E）と、誤差が小さくても近似比が有界でないのか？
• RQ3 α と β を事前に知る必要がない条件下で、近似比が有界となるポリシーを設計できるか？
• RQ4 推定誤差下において、推定値を用いた PSJF（PSJF-E）と SRPT（SRPT-E）の性能はどのように比較できるか？
• RQ5 M/G/1 キューイング システムにおいて、ジョブサイズの推定値のみを用いるポリシーが達成可能な、最もタイトな近似比は何か？

主な発見

• SRPT-E（推定値を用いて単純に SRPT を適用するポリシー）は、任意の β < 1 に対して近似比が無限大に発散する。α が1に近くても同様であり、実用的ではない。
• SRPT-B は、近似比が最大 3.5α/β であり、α と β が1に近づくにつれて一様に1に近づく。これにより、一貫性と滑らかな劣化の両方を満たす。
• PSJF-E は、最適 PSJF ポリシーに対する近似比が最大 1.5α/β であり、推定誤差が増大するにつれて滑らかに性能が劣化する。
• 解析により、PSJF-E の平均応答時間は、PSJF の平均応答時間の α/β 倍で有界であることが示され、待ち時間成分の積分的比較により導出された。
• 本稿では、長時間ジョブが過小推定される場合に SRPT-E が著しく性能を発揮しないという経験的観察を、近似比の下界を証明することで理論的裏付けを与える。
• 結果から、PSJF-E は、実装が単純で多くの場合にタイトな理論的境界を提供するため、SRPT-B の強力な実用的代替手段であることが示された。