[論文レビュー] Uniform error bounds of a time-splitting spectral method for the long-time dynamics of the nonlinear Klein-Gordon equation with weak nonlinearity

Weizhu Bao, Yue Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 57被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、弱い非線形性（非線形強度が$\varepsilon^p$）を有する非線形クライン＝ゴルドン方程式に時間分割スペクトル法を適用した場合の、一様な誤差境界を確立する。非線形性が弱く、$O(\varepsilon^{-\beta})$の長時間にわたり、時間ステップが大きくても2次精度を保証する。空間的精度はスペクトル的であり、すべての$\varepsilon \in (0,1]$に対して一様収束する。実数および複素振動的状態の両方の数値的妥当性が確認された。

ABSTRACT

We establish uniform error bounds of time-splitting Fourier pseudospectral (TSFP) methods for the nonlinear Klein--Gordon equation (NKGE) with weak power-type nonlinearity and $O(1)$ initial data, while the nonlinearity strength is characterized by $\varepsilon^{p}$ with a constant $p \in \mathbb{N}^+$ and a dimensionless parameter $\varepsilon \in (0, 1]$, for the long-time dynamics up to the time at $O(\varepsilon^{-β})$ with $0 \leq β\leq p$. In fact, when $0 < \varepsilon \ll 1$, the problem is equivalent to the long-time dynamics of NKGE with small initial data and $O(1)$ nonlinearity strength, while the amplitude of the initial data (and the solution) is at $O(\varepsilon)$. By reformulating the NKGE into a relativistic nonlinear Schrödinger equation, we adapt the TSFP method to discretize it numerically. By using the method of mathematical induction to bound the numerical solution, we prove uniform error bounds at $O(h^{m}+\varepsilon^{p-β}τ^2)$ of the TSFP method with $h$ mesh size, $τ$ time step and $m\ge2$ depending on the regularity of the solution. The error bounds are uniformly accurate for the long-time simulation up to the time at $O(\varepsilon^{-β})$ and uniformly valid for $\varepsilon\in(0,1]$. Especially, the error bounds are uniformly at the second order rate for the large time step $τ= O(\varepsilon^{-(p-β)/2})$ in the parameter regime $0\leβ

研究の動機と目的

• 弱い非線形性（$\varepsilon^p$）と$O(1)$の初期データを特徴とする非線形クライン＝ゴルドン方程式（NKGE）の長時間ダイナミクスを解析すること。
• すべての$\varepsilon \in (0,1]$に対して有効であり、$O(\varepsilon^{-\beta})$の長時間にわたり、$0 \leq \beta \leq p$の範囲で有効な、時間分割フーリエ擬スペクトル（TSFP）法の一致誤差境界を確立すること。
• 空間波長$O(1)$、時間波長$O(\varepsilon^\beta)$、波速度$O(\varepsilon^{-\beta})$を有する高振動的複素NKGEへの解析を拡張すること。
• 時間ステップが$\tau = O(\varepsilon^{-(p-\beta)/2})$である場合でも、TSFP法が$0 \leq \beta < p$の範囲で時間方向に2次収束を維持することを示すこと。

提案手法

• 弱い非線形ダイナミクスの解析を簡素化するため、NKGEを相対論的非線形シュレーディンガー方程式に再定式化する。
• 再定式化された方程式を空間的および時間的ともに時間分割フーリエ擬スペクトル（TSFP）法で離散化する。
• 数学的帰納法を用いて数値解のバインディングを行い、$H^1$ノルムにおける一様誤差推定を導出する。
• 誤差境界を$O(h^m + \varepsilon^{p-\beta}\tau^2)$の形で確立する。ここで$h$は空間メッシュサイズ、$\tau$は時間ステップ、$m \geq 2$は解の正則性に依存する。
• 誤差境界がすべての$\varepsilon \in (0,1]$および長時間区間$T = O(\varepsilon^{-\beta})$に対して一様に有効であることを証明し、弱い非線形領域におけるロバストネスを保証する。
• 波速度$O(\varepsilon^{-\beta})$、空間波長$O(1)$、時間波長$O(\varepsilon^\beta)$を有する複素かつ高振動的NKGEへの解析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い非線形性を有する非線形クライン＝ゴルドン方程式の長時間シミュレーションにおいて、時間分割スペクトル法に一様誤差境界を確立できるか？
• RQ2 時間ステップが$\tau = O(\varepsilon^{-(p-\beta)/2})$である場合でも、TSFP法が$0 \leq \beta < p$の範囲で時間方向に2次精度を維持するか？
• RQ3 時間ステップサイズや全ステップ数に応じて、$\beta$と$p$の異なるパrameter領域における誤差挙動はどのように変化するか？
• RQ4 波速度$O(\varepsilon^{-\beta})$、時間振動$O(\varepsilon^\beta)$を有する複素かつ高振動的NKGEに、TSFP法とその誤差境界を拡張できるか？
• RQ5 誤差境界がすべての$\varepsilon \in (0,1]$、特に$\varepsilon \to 0^+$の極限においても長時間シミュレーションに対して一様に有効か？

主な発見

• NKGEに対して、$O(\varepsilon^{-\beta})$の長時間にわたり、すべての$\varepsilon \in (0,1]$に対して一様誤差境界$O(h^m + \varepsilon^{p-\beta}\tau^2)$が成立する。
• $0 \leq \beta < p$の場合、時間ステップが$\tau = O(\varepsilon^{-(p-\beta)/2})$であっても、時間方向に2次収束を維持する。弱い非線形領域におけるロバストネスを裏付ける。
• 数値的結果により、実数および複素NKGEの両方において、すべてのテストされた$\varepsilon$値（$\varepsilon \ll 1$を含む）で時間方向に2次収束およびスペクトル的空間精度が確認された。
• $\beta = 1$の場合、$\varepsilon$に依存しない一様な2次収束を示す。一方、$\beta = 2$および$\beta = 3$の場合、それぞれ$\tau \lesssim \varepsilon^{3/2}$および$\tau \lesssim \varepsilon^3$の範囲でのみ2次収束が観察された。
• 計算コストは$\beta \leq p/2$では$O(N\ln N)$に比例するが、$\beta > p/2$では$O(N\ln N / \varepsilon^{(3\beta-p)/2})$に増加する。これは高振動的領域の課題を反映している。
• 誤差境界はすべての$\varepsilon \in (0,1]$に対して一様に有効であり、弱い非線形領域および小データ極限においても信頼性が保証される。