[論文レビュー] Uniform in time error estimates for fully discrete numerical schemes of a data assimilation algorithm

Hussain Ibdah, Cecilia F. Mondaini+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 53被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、2次元ナビエ＝ストークス方程式を解くためのデータ同化アルゴリズムに適した、完全離散化数値スキームを提示する。時間積分には半implicitおよび完全implicitエイラー法を用い、空間離散化にはスペクトルガレルキン法を採用する。数値解と基準解との間で、時間に依存しない明示的誤差推定値を$L^2$および$H^1$ノルムにおいて確立し、時間ステップやガレルキンモード数に依存しない、無条件安定性および収束性を証明する。

ABSTRACT

We consider fully discrete numerical schemes for a downscaling data assimilation algorithm aimed at approximating the velocity field of the 2D Navier-Stokes equations corresponding to given coarse mesh observational measurements. The time discretization is done by considering semi- and fully-implicit Euler schemes, and the spatial discretization is based on a spectral Galerkin method. The two fully discrete algorithms are shown to be unconditionally stable, with respect to the size of the time step, number of time steps and the number of Galerkin modes. Moreover, explicit, uniform in time error estimates between the fully discrete solution and the reference solution corresponding to the observational coarse mesh measurements are obtained, in both the $L^2$ and $H^1$ norms. Notably, the two-dimensional Navier-Stokes equations, subject to the no-slip Dirichlet or periodic boundary conditions, are used in this work as a paradigm. The complete analysis that is presented here can be extended to other two- and three-dimensional dissipative systems under the assumption of global existence and uniqueness.

研究の動機と目的

• データ同化アルゴリズムを対象とする2次元ナビエ＝ストークス方程式の完全離散化数値スキームの開発。
• 粗いメッシュからの観測から導かれる基準解と数値解との間で、時間に依存しない誤差境界の確立。
• 時間ステップサイズ、時間ステップ数、ガレルキンモード数に依存しないスキームの無条件安定性の保証。
• グローバル存在および一意性の仮定の下で、一般の散逸的系への解析の拡張。
• $L^2$および$H^1$ノルムにおける明示的誤差推定値を提示し、時間の経過に伴っても有界であることを保証。

提案手法

• 時間離散化には、半implicitおよび完全implicitエイラー法を用いる。
• 空間離散化には、ストークス作用素の固有関数に基づくスペクトルガレルキン法を採用する。
• 粗いスケールの解と観測データを一致させるために、修正されたナビエ＝ストークス方程式にフィードバック制御（ノッジング）項$-\beta I_h(\mathbf{v} - \mathbf{u})$を追加する。
• 解析的手法には、エネルギー推定、解の複素平面への解析接続、および解とその時間微分の上限を求めるためのコーシー積分推定が含まれる。
• 証明は、複素解析と補間論的議論を用いて、解およびその時間微分の$\mathcal{D}(A)$ノルムに対する一様有界性を活用する。
• 境界条件は、スリップなしのディリクレ境界条件または周期的境界条件を想定し、粘性係数$\nu$、ノッジングパラメータ$\beta$、固有値$\lambda_1$といった物理的パラメータの明示的依存関係を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ同化アルゴリズムの完全離散化スキームは、2次元ナビエ＝ストークス方程式において、時間に依存しない誤差境界を維持できるか？
• RQ2 誤差推定値は、時間ステップ、時間ステップ数、ガレルキンモード数にどのように依存するか？
• RQ3 半implicitおよび完全implicitエイラー法とスペクトルガレルキン空間離散化を組み合わせた場合、無条件安定性をどのように証明できるか？
• RQ4 $L^2$および$H^1$ノルムにおける明示的誤差境界は、時間の経過にかかわらず有効であるように導出可能か？
• RQ5 グローバル解の存在が保証される他の散逸的偏微分方程式へ、解析をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 完全離散化スキームは、時間ステップサイズ、時間ステップ数、ガレルキンモード数に依存しない無条件安定性を示す。
• $L^2$および$H^1$ノルムにおいて、数値解と基準解との間で明示的かつ時間に依存しない誤差推定値が導出された。
• 誤差境界は、粘性係数$\nu$、ノッジングパラメータ$\beta$、および最初の固有値$\lambda_1$に明示的に依存しており、$\log(M_1/\nu\lambda_1^{1/2})$によって成長が制御される。
• 解およびその時間微分の$\mathcal{D}(A)$ノルムは、時間に一様に有界であり、長時間安定性を保証する。
• 従来の結果[26]よりも、$|A\mathbf{u}|$および$|A\partial\mathbf{u}/\partial\xi|$の上限が鋭く得られた。
• グローバル解の存在と一意性の仮定の下で、他の2次元および3次元の散逸的系へも結果が拡張可能である。