[논문 리뷰] Uniform in time estimates for the weak error of the Euler method for SDEs and a Pathwise Approach to Derivative Estimates for Diffusion Semigroups

Dan Crisan, Paul Dobson외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확산 반군의 공간 도함수의 지수적 감쇠와 올림포스의 오일러 근사에 대한 균일한 모멘트 유계성에 기반하여, 확률적 미분 방정식(SDE)에 대한 올림포스 방법의 시간에 관계없이 균일한 약한 오차 수렴을 위한 충분조건을 확립한다. 주요 기여는 대규모 변동 원리에 기반한 새로운 경로 기반 도함수 추정 방법을 제시하여, 벡터장과 그의 교환자에 대한 비균일 강제 조건 하에서도 결과를 도출할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We present a criterion for uniform in time convergence of the weak error of the Euler scheme for Stochastic Differential equations (SDEs). The criterion requires i) exponential decay in time of the space-derivatives of the semigroup associated with the SDE and ii) bounds on (some) moments of the Euler approximation. We show by means of examples (and counterexamples) how both i) and ii) are needed to obtain the desired result. If the weak error converges to zero uniformly in time, then convergence of ergodic averages follows as well. We also show that Lyapunov-type conditions are neither sufficient nor necessary in order for the weak error of the Euler approximation to converge uniformly in time and clarify relations between the validity of Lyapunov conditions, i) and ii). Conditions for ii) to hold are studied in the literature. Here we produce sufficient conditions for i) to hold. The study of derivative estimates has attracted a lot of attention, however not many results are known in order to guarantee exponentially fast decay of the derivatives. Exponential decay of derivatives typically follows from coercive-type conditions involving the vector fields appearing in the equation and their commutators; here we focus on the case in which such coercive-type conditions are non-uniform in space. To the best of our knowledge, this situation is unexplored in the literature, at least on a systematic level. To obtain results under such space-inhomogeneous conditions we initiate a pathwise approach to the study of derivative estimates for diffusion semigroups and combine this pathwise method with the use of Large Deviation Principles.

연구 동기 및 목표

• SDE에 대한 올림포스 방법의 시간에 관계없이 균일한 약한 오차 수렴을 위한 충분조건을 확립하는 것.
• 비균일 강제 조건 하에서 확산 반군의 도함수 추정을 위한 경로 기반 방법을 개발하는 것.
• 리아푸노프 조건, 반군 도함수의 지수적 감쇠, 올림포스 근사의 모멘트 유계성 간의 상호작용을 명확히 하는 것.
• 균일한 약한 오차 수렴이 에르고딕 평균의 수렴을 암시한다는 것을 보이는 것.
• 강제 조건이 공간에 따라 비균일할 경우 반군 도함수의 지수적 감쇠를 위한 충분조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 유동 도함수 과정과 그의 고차 도함수에 기반한 확산 반군에 대한 경로 기반 도함수 추정 방법을 도입한다.
• 대규모 변동 원리를 사용하여 유동과 그 도함수의 尾행동을 제어하고, 지수적 감쇠 추정을 가능하게 한다.
• 비균일 강제 조건 하에서 벡터장과 그의 교환자에 대해 반군의 공간 도함수의 지수적 감쇠를 위한 충분조건을 도출하기 위해 이 방법을 적용한다.
• 경로 기반 도함수 추정과 올림포스 근사의 모멘트 유계성을 결합하여 균일한 약한 오차 수렴을 확립한다.
• 이산적 올림포스 근사의 연속 시간 보간을 사용하여 연속 시간 동안의 약한 오차를 분석한다.
• 이토의 공식과 테일러 전개를 사용하여 올림포스 근사의 모멘트를 유계화하며, 특히 cosh와 같은 비선형 테스트 함수에 대해 유의미한 추정을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE에 대한 올림포스 방법의 약한 오차가 시간에 관계없이 수렴하는 조건은 무엇인가, 특히 시간 영역에 의존하지 않는가?
• RQ2 벡터장과 그의 교환자에 대한 비균일 강제 조건 하에서 확산 반군의 공간 도함수의 지수적 감쇠를 보장할 수 있는가?
• RQ3 리아푸노프 유형 조건, 지수적 도함수 감쇠, 올림포스 근사의 모멘트 유계성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 경로 기반 도함수 추정 방법을 사용하여 균일한 약한 오차 유계를 도출할 수 있는가, 이 때 균일 타원성 조건을 가정하지 않는 한에서?
• RQ5 균일한 약한 오차 수렴은 올림포스 방법에 대해 에르고딕 평균의 수렴을 암시하는가?

주요 결과

• 반군 도함수의 지수적 감쇠와 올림포스 근사에 대한 균일한 모멘트 유계성이라는 두 조건 하에서, $ \sup_{t\geq 0}|\mathbb{E}[\varphi(X_t)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_t^\delta)]| \leq K\delta $ 형태의 시간에 관계없이 균일한 약한 오차 유계가 확립된다.
• 미세한 정규성 조건 하에서 반군 도함수의 지수적 감쇠는 균일한 약한 오차 수렴에 필수적이고 충분한 조건임이 입증된다.
• 논문은 지수적 도함수 감쇠나 모멘트 유계성 중 하나만 성립하는 경우에도 균일한 약한 오차 수렴이 성립하지 않음을 보여주는 예시를 구성한다.
• 비균일 강제성 조건을 가진 SDE의 클래스에 대해 경로 기반 도함수 추정 방법을 적용하여 도함수의 지수적 감쇠를 위한 새로운 충분조건을 도출한다.
• 이 방법은 퇴화된 소음을 다룰 수 있도록 강건하지만, 주요 결과는 명료성을 위해 비퇴화된 소음을 가정하며, 퇴화된 경우로의 확장은 향후 연구 과제로 제안된다.
• 균일한 약한 오차 수렴은 에르고딕 평균의 수렴을 암시하며, 이는 정리 3.6에서 보여진다.