[論文レビュー] Uniform LAN property of locally stable Lévy process observed at high frequency

D. O. Ivanenko, Alexei Kulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Probability and Risk Models参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Zが局所的α安定Lévy過程であり、Uがより活動性の低い雑音成分である高頻度サンプリングされたLévy過程Xₜᶿ = βt + γZₜ + Uₜにおけるパラメータθ = (β, γ)について、一様な局所漸近正規性（LAN）性質を確立する。この結果は、ZのLévy測度にやや弱い条件下で成り立ち、真に非対称な場合に非対角的正規化が必要であることを示しており、漸近的フィッシャー情報行列はα安定密度と密接に関連した洗練された形を取る。

ABSTRACT

Suppose we have a high-frequency sample from the Lévy process of the form $X_t^θ=βt+γZ_t+U_t$, where $Z$ is a possibly asymmetric locally $α$-stable Lévy process, and $U$ is a nuisance Lévy process less active than $Z$. We prove the LAN property about the explicit parameter $θ=(β,γ)$ under very mild conditions without specific form of the Lévy measure of $Z$, thereby generalizing the LAN result of A\"ıt-Sahalia and Jacod (2007). In particular, it is clarified that a non-diagonal norming may be necessary in the truly asymmetric case. Due to the special nature of the local $α$-stable property, the asymptotic Fisher information matrix takes a clean-cut form.

研究の動機と目的

• 高頻度サンプリングされたLévy過程に局所的α安定成分を含む場合のパラメータθ = (β, γ)について、局所漸近正規性（LAN）性質を確立すること。
• Aït-SahaliaとJacodの先行研究を一般化し、活性成分が必ずしも厳密にα安定ではなく、原点近傍でのみ局所的α安定である場合を扱うこと。
• Zよりも活動性が低いとされる雑音Lévy過程Uのクラス全体にわたってLAN性質が一様に成り立つことを示し、モデル誤特定に対するロバストネスを保証すること。
• 真に非対称な場合、LAN極限実験において非対角的正規化が必須であることを明確にすること。これは、対称な場合に一般的に用いられる対角的正規化とは対照的である。

提案手法

• Le Cam理論に基づくL₂正則性技術を用いて、LAN条件を検証する。
• Malliavin微積分に基づく対数尤度関数の導関数の積分表現を適用し、精密なLₚバインディングを導出する。
• Lévy過程の遷移密度が解析的に扱いにくいことに対応するため、高頻度サンプリングに基づく小時間近似を用いて尤度を近似する。
• 弱収束を用いた極限的議論を実施し、過程およびスコア関数の弱収束を、一様可積分性および緊密性の議論によって確立する。
• 特性関数の分析と変数変換を用いて、スコア過程の有限次元分布の収束を示す。
• パラメータθおよび雑音過程Uにわたる正規化された増分ζₐ,ₜᶿの密度およびその微分に対する一様バインディングを確立し、安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy測度にやや弱い条件を課した場合、全α安定性を仮定せず、原点近傍でのみ局所的α安定性を満たす高頻度サンプリングLévy過程において、LAN性質が成り立つかどうか。
• RQ2 元のα安定過程が非対称である場合、LAN極限における正しい正規化スキームは何か。
• RQ3 活動性が低い雑音Lévy過程Uの存在が、スコア関数の漸近的分布にどのように影響するか。
• RQ4 LAN結果が、Uの具体的な形に依存しない、Uのクラス全体にわたって一様に成り立つかどうか。
• RQ5 局所的α安定状況下での漸近的フィッシャー情報行列の明示的形は何か。また、これはα安定密度とどのように関係しているか。

主な発見

• Zよりも活動性が低い雑音Lévy過程Uのクラス全体にわたって、LAN性質が一様に成り立つ。これは、モデル不確実性に対してもロバストであることを保証する。
• 真に非対称な場合、非対角的正規化がLAN極限に必要である。これは、対称なα安定設定では一般的に用いられる対角的正規化とは対照的である。
• 漸近的フィッシャー情報行列は、α安定密度と直接関連した洗練された明示的形を取る。これは、局所的α安定過程の本質的構造を反映している。
• スコア過程は、α安定特性関数によって定まる共分散構造を持つガウス過程に弱収束する。
• 正規化された増分ζₐ,ₜᶿの密度およびその微分に対する一様バインディングが確立され、Lₚ正則性の議論において不可欠である。
• ζₐ,ₜᶿの特性関数が、θおよび雑音過程Uのクラスにわたって一様に標準α安定分布の特性関数に収束することが示された。