[論文レビュー] Uniform large deviation principles for Banach space valued stochastic differential equations

Amarjit Budhiraja, Paul Dupuis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、無限次元空間における相対コンパクト性の欠如に起因する非コンパクト性を、双対双対空間を用いた弱-*位相のアプローチにより克服することで、バナッハ空間値確率微分方程式（SDE）の初期条件が有界集合にある場合に、一様な大偏差原理（LDP）を確立する。主な貢献は、弱-*コンパクト集合上で一様なラプラス原理が成り立つならば、元のバナッハ空間の有界集合上で一様LDPが成り立つことを示したことである。これにより、小ノイズSDE、例えば確率的反応拡散方程式や2次元ナビエ＝ストークス方程式の帰着時間の漸近解析が可能になる。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle (LDP) for a general class of Banach space valued stochastic differential equations (SDE) that is uniform with respect to initial conditions in bounded subsets of the Banach space. A key step in the proof is showing that a uniform large deviation principle over compact sets is implied by a uniform over compact sets Laplace principle. Because bounded subsets of infinite dimensional Banach spaces are in general not relatively compact in the norm topology, we embed the Banach space into its double dual and utilize the weak-$\star $ compactness of closed bounded sets in the double dual space. We prove that a modified version of our stochastic differential equation satisfies a uniform Laplace principle over weak-$\star $ compact sets and consequently a uniform over bounded sets large deviation principle. We then transfer this result back to the original equation using a contraction principle. The main motivation for this uniform LDP is to generalize results of Freidlin and Wentzell concerning the behavior of finite dimensional SDEs. Here we apply the uniform LDP to study the asymptotics of exit times from bounded sets of Banach space valued small noise SDE, including reaction diffusion equations with multiplicative noise and $2$-dimensional stochastic Navier-Stokes equations with multiplicative noise.

研究の動機と目的

• 無限次元ノルム位相における相対コンパクト性の欠如に起因する課題を克服し、有界な初期条件集合上で一様に成り立つバナッハ空間値SDEの均一大偏差原理（LDP）を構築すること。
• 有限次元設定から無限次元設定へと、フリードリン＝ウェントセル型の帰着時間漸近解析を拡張すること、特に乗法的ノイズを有する小ノイズSDEを対象とする。
• 元のバナッハ空間の有界集合上で一様LDPを導くためのステップとして、双対双対空間における弱-*コンパクト集合上で一様ラプラス原理を確立すること。
• 均一LDPを用いて、確率的反応拡散方程式や2次元ナビエ＝ストークス方程式などのSPDEについて、有界領域からの帰着時間の漸近解析を実施すること。

提案手法

• バナッハ空間 E をその双対双対空間 E** に埋め込み、アラオグルの定理を用いて有界集合の弱-*コンパクト性を活用する。
• 元のSDEの修正版に対して、E** の弱-*コンパクト部分集合上で一様ラプラス原理を証明する。この際、ウィーナー過程の変分表現を用いる。
• 弱収束アプローチを用いてラプラス原理とLDPの等価性を拡張し、コンパクト集合上で一様性を保つように適応する。
• 収縮原理を用いて、E** における修正方程式から得られた一様LDPを、元のE における方程式へと逆方向に移行する。
• SDEの弱解が半群 S(t) を含む積分方程式を満たすことに着目し、S(t) を強連続性とコンパクト性を用いて E** へと拡張する。
• 逐次的弱-*収束と部分列の抽出を用いて、E** におけるコンパクト性の議論を展開し、半群作用の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム位相における相対コンパクト性の欠如に起因する課題を克服し、初期条件が有界集合にある場合に一様に成り立つバナッハ空間値SDEの均一LDPを確立できるか？
• RQ2 双対双対空間における弱-*位相を用いることで、無限次元設定におけるコンパクト性を回復し、一様LDPを実現できるか？
• RQ3 双対双対空間 E** の弱-*コンパクト集合上で一様ラプラス原理が成り立つならば、元のバナッハ空間 E の有界集合上で一様LDPが成り立つか？
• RQ4 この枠組みを用いて、確率的反応拡散方程式や2次元ナビエ＝ストークス方程式などの小ノイズSPDEの帰着時間漸近解析を導出できるか？

主な発見

• 双対双対空間 E** の弱-*コンパクト集合上で一様ラプラス原理が成り立つならば、収縮原理を用いて元のバナッハ空間 E の有界集合上で一様LDPが成り立つ。
• 証明により、E** における修正SDEが弱-*コンパクト集合上で一様ラプラス原理を満たすことが示され、変分表現とコンパクト半群の性質が活用された。
• 半群 S(t) は E** へ連続的に拡張可能であり、収束性を保つ：E** 内で弱-*収束する初期データ {x_n} に対して、t1>0 に対して S(t)x_n が C([t1,T]:E) および Lp([0,T]:E) で収束する。
• 任意の E** 内の有界列 {x_n} に対して、ある x**∈E** が存在し、S(t)x_n が C([t1,T]:E) および Lp([0,T]:E) で S(t)x** に収束する部分列が存在する。
• 均一LDPを用いて、確率的反応拡散方程式や2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式などのSPDEについて、有界集合からの帰着時間の小ノイズ漸近解析を導出できた。
• 非コンパクト性という位相的障害を克服することで、本フレームワークはフリードリン＝ウェントセルの結果を無限次元へと一般化した。