[論文レビュー] Uniform tightness for time-inhomogeneous particle systems and for conditional distributions of time-inhomogeneous diffusion processes

Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界からのジャンプを伴う時不変でない粒子系における経験分布の一様タイトネスの十分条件を確立し、それを用いて有界領域の境界に吸収される時不変でない拡散過程の条件付き分布の一様タイトネスを証明する。主な貢献は、近似粒子系からの収束を介して、任意の初期分布に対しても、このような条件付き分布が境界付近に集中しないことを保証する一般化された基準を提供することにある。

ABSTRACT

In this article, we consider time-inhomogeneous diffusive particle systems, whose particles jump from the boundary of a bounded open subset of $\R^d$, $d\geq 1$. We give a sufficient criterion for the family of empirical distributions of such systems to be uniformly tight, independently of the jump location of the particles. As an application, we show that the conditional distribution of a family of time-inhomogeneous and environment-dependent diffusions conditioned not to hit the boundary of a bounded open subset of $\R^d$ is uniformly tight.

研究の動機と目的

• 境界ジャンプダイナミクスを伴う時不変でない粒子系における経験測度の一様タイトネスを確立すること。
• 他の粒子の位置に基づいて境界からジャンプする粒子を含む、相互作用する粒子系の長期的挙動を扱うこと。
• 境界に到達しないように条件づけられた時不変でない拡散過程の条件付き分布が、境界から確率的に有界に保たれることを証明すること。
• 粒子系による準定常分布の数値近似の理論的基盤を提供すること。
• Fleming-Viot型過程に関する既存の結果を、時不変でないおよび環境依存係数を有する拡散過程へ一般化すること。

提案手法

• 時間不変でないダイナミクスと境界ジャンプを伴う粒子系の経験測度に対する一様タイトネス基準を導出すること。
• 先行研究（Villemonais, 2014）における爆発回避基準を適応し、粒子系の動的定義を保証すること。
• 粒子系からの経験測度の収束を、拡散過程の条件付き分布へと用いること。
• 各粒子が境界に到達した際に他の粒子の位置にジャンプするFleming-Viot型系にタイトネス基準を適用すること。
• ドリフト、拡散、ジャンプ機構に正則性および有界性条件を課し、一様な制御を確保すること。
• 固定時間後に境界付近にいる確率が一様に小さいことを示すことにより、条件付き分布のタイトネスを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界ジャンプを伴う時不変でない粒子系の経験分布族が、どのような条件下で一様タイトネスを満たすか？
• RQ2 境界に到達しないように条件づけられた時不変でない拡散過程の条件付き分布が、一様タイトネスを満たすか？
• RQ3 条件付き分布の粒子系近似は、初期分布に依存せずタイトネスを保つのか？
• RQ4 粒子系の経験測度のタイトネスは、元の拡散過程の長期的挙動とどのように関係するか？
• RQ5 この結果をブラウン運動を超えて、一般の時不変でない拡散過程（環境依存係数を有する）へ拡張可能か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、D に含まれるコンパクト集合 Daε ⊂ D が存在し、初期分布および時間 t ≥ t₀ に対して、拡散過程の条件付き分布が Daε に含まれる確率が 1 - ε 以上であることが保証される。
• 提示された仮定のもとで、初期状態に依存せず、粒子系の経験測度は法的に一様タイトネスを満たす。
• 初期分布が境界付近に支持を持つ場合であっても、拡散過程の条件付き分布は境界に退化しない。
• 任意の初期分布（確率的である場合を含む）および一般の時不変でない・環境依存係数を有する拡散過程に対しても、タイトネス結果は成り立つ。
• 粒子系から条件付き分布への収束が、粒子系のタイトネスを極限の拡散過程へと伝えるのに十分である。
• ブラウン運動およびドリフト付き拡散過程に関する先行研究の結果を、境界ジャンプダイナミクスを有する時不変でない・環境依存係数を有する拡散過程の全クラスへ一般化している。