[論文レビュー] Uniformity seminorms on $\ell^\infty$ and applications

Bryna Kra, Bernard Host|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Gowersノルムおよびエルゴード的ノルムに類似した、$\ell^\infty(\mathbb{Z})$ 上の均一性セミノルムを導入し、有界な列がニルシーケンスと関連する仕組みを示す逆定理を確立する。また、ニルシーケンスとの相関が双対ノルムによって上界で抑えられることを証明し、このフレームワークを応用して、ウィーナー＝ウィンター定理のニルシーケンス拡張や重み付き多重エルゴード収束結果を含むエルゴード定理を導出する。

ABSTRACT

A key tool in recent advances in understanding arithmetic progressions and other patterns in subsets of the integers is certain norms or seminorms. One example is the norms on $\Z/N\Z$ introduced by Gowers in his proof of Szemerédi's Theorem, used to detect uniformity of subsets of the integers. Another example is the seminorms on bounded functions in a measure preserving system (associated to the averages in Furstenberg's proof of Szemerédi's Theorem) defined by the authors. For each integer $k\geq 1$, we define seminorms on $\ell^\infty(\Z)$ analogous to these norms and seminorms. We study the correlation of these norms with certain algebraically defined sequences, which arise from evaluating a continuous function on the homogeneous space of a nilpotent Lie group on a orbit (the nilsequences). Using these seminorms, we define a dual norm that acts as an upper bound for the correlation of a bounded sequence with a nilsequence. We also prove an inverse theorem for the seminorms, showing how a bounded sequence correlates with a nilsequence. As applications, we derive several ergodic theoretic results, including a nilsequence version of the Wiener-Wintner ergodic theorem, a nil version of a corollary to the spectral theorem, and a weighted multiple ergodic convergence theorem.

研究の動機と目的

• 有界な列に対して、Gowersノルムおよびエルゴード的セミノルムに類似した $\ell^\infty(\mathbb{Z})$ 上の均一性セミノルムを定義すること。
• 有界な列のセミノルムが非ゼロである場合、それがニルシーケンスと相関することを示す逆定理を確立すること。
• 任意の $k$-段階ニルシーケンスとの相関を上界で抑えることができる双対ノルムを定義すること。
• セミノルムフレームワークを用いて、古典的結果のニルシーケンス版を含む、新たなエルゴード定理を導出すること。

提案手法

• $k$-次元の立方体におけるパラレレピペッド平均を用いて、$\ell^\infty(\mathbb{Z})$ 上に $k$-段階の均一性セミノルム $\lvert\!|\!|f|\!|\!\rvert_k$ を定義する。
• 任意の $k$-段階ニルシーケンスとの相関を上界で抑えることができる双対ノルム $\lvert\!|\!|\cdot|\!|\!\rvert_k^*$ を構成する。
• ニルシステムおよびニル多様体の構造を用いて、同相空間上の不変測度を介して、これらのセミノルムの振る舞いを分析する。
• $\lvert\!|\!|f|\!|\!\rvert_k = 0$ ならば $f = 0$ であることを証明し、連続関数の空間上でセミノルムが真のノルムであることを確立する。
• $k$-重パラレレピペッド構造の系とニル多様体上のシステムとの間の同型を用いて、エルゴード的性質を移転する。
• 条件付き期待値を用いて、セミノルムフレームワークを応用し、ニルシステムへの還元によって収束定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gowers型の均一性セミノルムを $\ell^\infty(\mathbb{Z})$ 上にどのように定義すれば、エルゴード理論および組合せ論におけるそれらに類似した代数的構造を捉えることができるか？
• RQ2 有界な列が非ゼロの均一性セミノルムを持つ場合、それとニルシーケンスとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 任意の $k$-段階ニルシーケンスとの相関を上界で抑えることができる双対ノルムを構成できるか？
• RQ4 新しいセミノルムフレームワークを用いて、特に古典的結果のニルシーケンス版としての拡張が得られるエルゴード定理は何か？
• RQ5 ニルシステムおよびニル多様体の代数的構造は、これらのセミノルムの構造定理および逆定理の背後にある根拠となるか？

主な発見

• $\lvert\!|\!|f|\!|\!\rvert_k$ は、$k$-段階ニル多様体上の連続関数の空間上でノルムであり、零関数以外ではゼロにならない。
• 有界な列 $f \in \ell^\infty(\mathbb{Z})$ が $k$-段階ニルシーケンスと相関するための必要十分条件は $\lvert\!|\!|f|\!|\!\rvert_k > 0$ であることから、逆定理が確立される。
• 双対ノルム $\lvert\!|\!|\cdot|\!|\!\rvert_k^*$ は、$f$ と任意の $k$-段階ニルシーケンスとの相関を上界で抑える。
• $\ell^\infty(\mathbb{Z})$ 上の $k$-重パラレレピペッド構造の系は、$k$-段階ニル多様体上のニルシステムと同型であり、一意的エルゴード性および平行移動に関する不変性を保証する。
• ウィーナー＝ウィンターのエルゴード定理のニルシーケンス版が確立され、ニルシーケンスの重み付きで一様収束が示された。
• 重み付き多重エルゴード収束定理が証明され、均一性セミノルムの意味で、ニルシーケンスで重み付けられた平均の収束が示された。