[論文レビュー] Uniqueness in determining the orders of time and spatial fractional derivatives

Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1つの空間的点における解の点測定値を用いて、拡散方程式における時間分数階数 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ と空間分数階数 $\beta \in (0,1)$ の両方の同定の一意性を確立する。証明は固有関数展開とマイトガーレフラー関数の漸近解析に依拠し、初期データおよび固有値に関する適切な条件下で、$0<t<T$ における $u_{\alpha,\beta}(x_0,t)$ が $\alpha$ と $\beta$ を一意に特定できることを示す。

ABSTRACT

We prove the uniqueness in determining both orders of fractional time derivatives and spatial derivatives in diffusion equations by pointwise data. The proof relies on the eigenfunction expansion and the asymptotics of the Mittag-Leffler function.

研究の動機と目的

• 拡散方程式における時間分数階数 $\alpha$ と空間分数階数 $\beta$ の両方を、1つの空間的点における解の点測定値から一意に同定することを確立すること。
• 限られたデータを用いた異常拡散モデルにおける分数階数の同定という逆問題に取り組み、物理的モデルの正確性に不可欠である。
• 解のデータが1点でのみ与えられる場合に、分数階数を一意に決定できる条件を提供し、従来の手法の制限を克服すること。
• 時間および空間分数階数を同時に同定することにより、既存の分数拡散方程式の逆問題に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 楕円型作用素 $A$ の固有値 $\lambda_k$ および固有関数 $\varphi_{kj}$ を用いた、解 $u_{\alpha,\beta}(x,t)$ の固有関数展開を利用する。
• 解展開の時間的成分として、マイトガーレフラー関数 $E_{\alpha,1}(-\lambda_k^\beta t^\alpha)$ を用いる。
• 大きな $\ell$ におけるマイトガーレフラー関数の漸近的解析を用い、係数 $a_k = (a, \varphi_{kj})$ を含む恒等式を導出する。
• 非退化性を保証するため、$\sum_{j=1}^{m_{k_0}} (a, \varphi_{k_0j}) \varphi_{k_0j}(x_0) \neq 0$ および $\lambda_{k_0} \neq 1$ の条件を用いる。
• 2つの候補となる階数 $\beta$ と $\beta_1$ について、$\lambda_k^{\beta\ell}$ を含む方程式系を導出し、$\beta \neq \beta_1$ だと矛盾が生じることを示し、結論として $\beta_1 = \beta$ を得る。
• 無限級数におけるリーマン収束定理を適用し、導出された恒等式における $\ell \to \infty$ の極限を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数階数 $\alpha$ と空間分数階数 $\beta$ は、1つの空間的位置における解の点測定値から一意に同定可能か？
• RQ2 初期データおよび楕円型作用素の固有構造に関して、$\alpha$ と $\beta$ の同定の一意性を保証するための条件は何か？
• RQ3 なぜ $\lambda_{k_0} \neq 1$ の条件が $\beta$ の一意性にとって本質的なのか？
• RQ4 マイトガーレフラー関数の漸近的挙動は、一意性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 初期データのすべてのフーリエ係数が非ゼロである必要がない場合、$\alpha$ と $\beta$ を一意に同定することは可能か？

主な発見

• 与えられた条件下で、$0 < t < T$ における解 $u_{\alpha,\beta}(x_0,t)$ は、$\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ と $\beta \in (0,1)$ の両方を一意に特定する。
• $\sum_{j=1}^{m_{k_0}} (a, \varphi_{k_0j}) \varphi_{k_0j}(x_0) \neq 0$ および $\lambda_{k_0} \neq 1$ の条件は、$\beta$ の一意性にとって不可欠である。そうでなければ、解は $\beta$ に依存しない。
• 証明では、$\lambda_{k_0} > 1$ および $\lambda_{k_0} < 1$ の2つの場合について、$\lambda_k^{\beta\ell}$ を含む級数の漸近的挙動を用いて背理法により $\beta_1 = \beta$ を示す。
• $\alpha$ の一意性は、$(A^{-\beta}a)(x_0) \neq 0$ の条件から導かれるが、これは完全な正則性条件 (1.2) を必要としない。
• 集合 $\{m/\alpha \mid m \in \mathbb{N}\}$ が $\mathbb{N}$ に稠密であっても、この集合を避けるように $\ell_n \to \infty$ を構成することで、結果は成立する。
• 従来の研究とは異なり、すべてのフーリエ係数が非ゼロである必要がないため、本手法は条件 (1.3) を (1.4) よりもはるかに弱く設定できる（Tatar と Ulusoy, 2015）。