[論文レビュー] Uniqueness of Dirichlet forms related to infinite systems of interacting Brownian motions

Yosuke Kawamoto, Hirofumi Osada+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限個の相互作用するブラウン運動に関連する2つの自然なディリクレ形式（上形式（upr）および下形式（lwr））が一致する十分条件を確立する。無限次元確率微分方程式（ISDE）の弱解の一意性を用いて、特定の粒子が爆発しない場合、形式が同一であることを証明しており、無限次元拡散過程の理論における長年の未解決問題を解決するとともに、ランダム行列理論やルイエル型ポテンシャルから生じる系へと結果を拡張する。

ABSTRACT

The Dirichlet forms related to various infinite systems of interacting Brownian motions are studied. For a given random point field $ μ$, there exist two natural infinite-volume Dirichlet forms $ (\mathcal{E}^{\mathsf{upr}},\mathcal{D}^{\mathsf{upr}})$ and $(\mathcal{E}^{\mathsf{lwr}},\mathcal{D}^{\mathsf{lwr}})$ on $ L^2(\mathsf{S} ,μ) $ describing interacting Brownian motions each with unlabeled equilibrium state $ μ$. The former is a decreasing limit of a scheme of such finite-volume Dirichlet forms, and the latter is an increasing limit of another scheme of such finite-volume Dirichlet forms. Furthermore, the latter is an extension of the former. We present a sufficient condition such that these two Dirichlet forms are the same. In the first main theorem (Theorem 3.1) the Markovian semi-group given by $(\mathcal{E}^{\mathsf{lwr}},\mathcal{D}^{\mathsf{lwr}})$ is associated with a natural infinite-dimensional stochastic differential equation (ISDE). In the second main theorem (Theorem 3.2), we prove that these Dirichlet forms coincide with each other by using the uniqueness of {\ws}s of ISDE. We apply Theorem 3.1 to stochastic dynamics arising from random matrix theory such as the sine, Bessel, and Ginibre interacting Brownian motions and interacting Brownian motions with Ruelle's class interaction potentials, and Theorem 3.2 to the sine$ _2$ interacting Brownian motion and interacting Brownian motions with Ruelle's class interaction potentials of $ C_0^3 $-class.

研究の動機と目的

• 無限個の相互作用するブラウン運動に対する上形式と下形式が一致する条件を解明すること。
• 下形式によって生成されるマルコフ過程が、明確に定義されたISDEを満たす条件を確立すること。
• ランダム行列理論およびルイエル型相互作用ポテンシャルから生じる系へと、ディリクレ形式の一意性を拡張すること。
• 無限次元系におけるシルバーサイン拡張とディリクレ形式の等価性の関係を明確にすること。
• 特定の粒子の爆発がなければ、形式の等価性が必要かつ十分であるかどうかを調査すること。

提案手法

• 上形式を吸収境界条件を伴う有限体積ディリクレ形式の減少極限として、下形式を反射境界条件を伴う有限体積ディリクレ形式の増加極限として構成する。
• 平衡測度μの対数微分を定義し、ISDEにおけるドリフト項として用いることで、ラベル付きダイナミクスを持つ拡散に対応する形式を保証する。
• 下形式が弱解の一意存在を示すことにより、下形式が生成するマルコフ過程がISDEを満たすことを証明する。
• 領域サイズR → ∞における境界効果を制御するための主要な技術的条件として、特定の粒子の爆発が発生しないことを利用する。
• 準ギブス測度および有限体積近似の理論を用いて、形式の等価性の条件を検証する。
• ISDEの弱解の一意性を活用し、提示された条件下で上形式と下形式が同一であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限個の相互作用するブラウン運動に対する上形式と下形式が一致する条件は何か？
• RQ2 特定の粒子の爆発がなければ、上形式と下形式の等価性が必要かつ十分であるか？
• RQ3 下形式のISDE表現は、弱解の一意性によって厳密に正当化可能か？
• RQ4 2つの形式の等価性は、下形式が上形式のシルバーサイン拡張であることを示唆するか？
• RQ5 形式の等価性を保証するための、相互作用ポテンシャルおよび平衡測度の最小条件は何か？

主な発見

• 特定の粒子が爆発しない場合、境界効果が無限体積極限で制御され、上形式と下形式が一致する。
• 下形式に関連するマルコフ過程は、平衡測度の対数微分によって与えられるドリフトを持つ無限次元SDEを満たす。
• 正弦β、ベッセル、ギニブル相互作用ブラウン運動の系において、爆発が発生しない限り、2つの形式は等しい。
• ギニブル点過程はすべての必要条件(A1)–(A6)を満たしており、このランダム行列集合に対して形式の等価性が確認された。
• 等価性は、下形式が上形式のシルバーサイン拡張であることを示しており、拡張の一意性に関する疑問を解決する。
• 非爆発性が形式の等価性の十分条件であることが確認された。著者らは、これが必要条件でもあると予想している。