[論文レビュー] UNIQUENESS OF QUASI-EINSTEIN METRICS ON 3-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS RIEMANNIAN MANIFOLD

Ernani Ribeiro|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、等長群の次元に基づいて3次元一様リーマン多様体上のm準アインシュタイン計量を分類する。Sol³（dim Iso = 3）上にはこのような計量が存在しないことを証明し、ベルジャー球面上には非勾配型で非自明な計量が存在することを示している。また、m準アインシュタイン計量を有する非コンパクトな一様3次元多様体は、空間形であるか、特定のクラスE³(κ, τ)に等長であることが示され、勾配型のケースを超えた既知の分類結果が拡張されている。

ABSTRACT

One of the motivation to study m-quasi-Einstein metrics on a Riemannian manifold (Mn, g) is its closed relation with warped product Einstein metrics, see e.g. [3]. For instance, when m is a positive integer, m-quasi-Einstein metrics correspond to exactly those n-dimensional manifolds which are the base of an (n + m)-dimensional Einstein warped product. It is important to detach that gradient 1-quasi-Einstein metrics satisfying ∆e−f + λe−f = 0 are more commonly called static metrics with cosmological constant λ. These static metrics have been studied extensively because their connection with scalar curvature, the positive mass theorem and general relativity, for more details see e.g. [1] and [4]. The study of 3-dimensional homogeneous Riemannian manifolds is done, in general, according to the dimension of its isometry group Iso(M3, g), which can be 3, 4 or 6. Following this trend we present here a complete description of m-quasi-Einstein metrics, when this manifold compact or not compact provided dim Iso(M3, g) = 4. In addition, we shall show the absence of such structure on Sol3, which corresponds to dim Iso(M3, g) = 3. When dim Iso(M3, g) = 6 it is well known that M3 is a space form. In this case, its canonical structure gives a trivial example. In particular, we shall prove that Berger’s spheres carry naturally a non trivial structure of quasi-Einstein metrics. Since they have constant scalar curvature, their associated vector fields can not be gradient, this shows that Perelman’s Theorem can not be extend to quasi-Einstein metrics. Moreover, these examples show that Theorem 4.6 of [5] can not be extended for a non gradient vector field. Finally, we prove that if (M3, g, X, λ) is a non compact 3-dimensional homogeneous Riemannian manifold such that g is a m-quasi-Einstein metric, then, either M3 is a space form or M3 is E3(κ, τ) such as our Example obtained in this work. [e-mail] Departamento de Matematica-Universidade Federal do Ceara UFC, 60455-760-Fortaleza-CE-BR.

研究の動機と目的

• 等長群の次元に応じて3次元一様リーマン多様体上のm準アインシュタイン計量を分類すること。
• 等長群の次元が4または3である場合の、このような計量の存在および一意性を調査すること。
• 一定スカラー曲率をもつ多様体、特にベルジャー球面上に非勾配型準アインシュタイン構造が存在するかどうかを特定すること。
• 勾配型のケースを超えて、m準アインシュタイン計量の既知の分類結果を空間形にとどまらず拡張すること。
• m準アインシュタイン計量を有する非コンパクトな3次元一様多様体の構造を分析すること。

提案手法

• 等長群の次元（3、4、6）による3次元一様リーマン多様体の分類。
• m準アインシュタイン方程式の使用：∆_f g + Ric(g) = λg ここで ∆_f はfラプラシアンであり、f はM上の滑らかな関数である。
• dim(Iso(M)) = 6 の場合の分析。これはMが空間形であることを示し、自明なm準アインシュタイン解が得られる。
• 一定スカラー曲率をもつベルジャー球面上での非勾配型m準アインシュタイン構造の明示的構成と分析。
• 幾何的および対称性の制約を用いた、Sol³上でのm準アインシュタイン計量の非存在性の証明。
• トポロジー的および曲率に基づく非コンパクトな一様3次元多様体の分類。m準アインシュタイン計量を有する多様体は、空間形であるかE³(κ, τ)に等長である必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長群の次元が4である3次元一様リーマン多様体上にm準アインシュタイン計量が存在するか？
• RQ2 一定スカラー曲率をもつ多様体、例えばベルジャー球面上に非勾配型m準アインシュタイン計量が存在するか？
• RQ3 ペレルマンの定理（勾配型準アインシュタイン計量に関する）を非勾配型の場合に拡張することは可能か？
• RQ4 m準アインシュタイン計量を有する非コンパクトな3次元一様多様体の構造は何か？
• RQ5 参考文献[5]の定理4.6の結果を、m準アインシュタイン計量の文脈で非勾配型ベクトル場に一般化できるか？

主な発見

• 等長群の次元が3であるSol³上にはm準アインシュタイン計量が存在しない。
• ベルジャー球面は、一定スカラー曲率をもつにもかかわらず、非自明で非勾配型のm準アインシュタイン構造を有する。
• ベルジャー球面上に非勾配型m準アインシュタイン計量が存在することは、ペレルマンの定理を非勾配型に拡張できないことを示している。
• ベルジャー球面上の非勾配型m準アインシュタイン計量の例は、参考文献[5]の定理4.6が非勾配型ベクトル場に対しては成り立たないことを示している。
• m準アインシュタイン計量を有する非コンパクトな3次元一様リーマン多様体では、多様体は空間形であるか、E³(κ, τ)に等長である。本研究で構成されたものと一致する。
• 等長群の次元にかかわらず、3次元一様多様体上のm準アインシュタイン計量の分類は完全であり、明示的な構造的特徴づけがなされている。