[論文レビュー] Uniqueness of warped product Einstein metrics and applications

Chenxu He, Peter Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、等長基底、単連結な空間形の繊維、固定されたリッチ曲率と次元を持つ完全なワーピング積アインシュタイン計量の等長写像を除く一意性を確立する。コンパクトな場合、ワーピング関数はスケーリングを除いて一意であるが、非コンパクトな場合、解空間上の2次形式と仮想アインシュタインワーピング関数からの構造定理を用いて、ワーピング関数の非一意性が可能であることを示す。

ABSTRACT

We prove that complete warped product Einstein metrics with isometric bases, simply connected space form fibers, and the same Ricci curvature and dimension are isometric. In the compact case we also prove that the warping functions must be the same up to scaling, while in the non-compact case there are simple examples showing that the warping function is not unique. These results follow from a structure theorem for warped product Einstein spaces which is proven by applying the results in our earlier paper "Warped product rigidity" to a vector space of virtual Einstein warping functions. We also use the structure theorem to study gap phenomena for the dimension of the space of warping functions and the isometry group of a warped product Einstein metric.

研究の動機と目的

• 特定の幾何的制約の下で、ワーピング積アインシュタイン計量の一意性に関する結果を確立すること。
• 仮想アインシュタインワーピング関数の空間の構造とその関連する2次形式を分析すること。
• このような計量のワーピング関数の空間の次元と等長群の間のギャップ現象を調査すること。
• 特にコンパクトと非コンパクトな設定において、ワーピング関数がスケーリングを除いて一意に定まる条件を特定すること。
• 境界条件とリッチ曲率が、ワーピング積アインシュタイン計量の一意性を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• 方程式 $ \mathrm{Hess}w = \frac{w}{m}(\mathrm{Ric} - \rho g) $ を満たす仮想 $ (\rho,n+m) $-アインシュタインワーピング関数のなすベクトル空間 $ W_{\rho,n+m}(M,g) $ を定義する。
• リーマン計量の繊維のリッチ曲率を定める2次形式 $ \mu(w) = w\Delta w + (m-1)|\nabla w|^2 + \rho w^2 $ を $ W $ 上に導入する。
• 先行研究 [HPW3] からの構造定理を用いて、解の挙動と境界条件の性質を分析する。
• 境界条件 $ w = 0 $ を $ \partial M $ 上に課すことで、$ \partial M \neq \emptyset $ のとき解空間が高々1次元であることを示す。
• 繊維 $ F $ のリッチ曲率の種類に基づいて場合分けを行う。具体的には、$ \mathrm{Ric}^F = (k-1)\bar{\mu}_B(u)g_F $、$ \mathrm{Ric}^F = \mu(w)g_F $、および退化した場合を区別する。
• スケーリングと変換技術を用いて、特に $ \bar{\mu}_B(u,z) = 0 $ または $ \bar{\mu}_B(u) = 0 $ の場合に、ケースを標準形に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された基底と空間形の繊維を持つワーピング積アインシュタイン計量が、等長写像を除いていつ一意に定まるか。
• RQ2 仮想アインシュタインワーピング関数の解空間の次元は、基底多様体の幾何にどのように関係するか。
• RQ3 境界条件が、ワーピング関数の空間を高々1次元に制限する役割は何か。
• RQ4 同じ滑らかな多様体上に、同じ基底と繊維を持つ非等長なワーピング積アインシュタイン計量が存在しうるか。
• RQ5 2次形式 $ \mu(w) $ と $ \bar{\mu}(w) $ は、アインシュタイン計量の存在性と一意性にどのように影響するか。

主な発見

• 等長基底、単連結な空間形の繊維、固定されたリッチ曲率と次元を持つ完全なワーピング積アインシュタイン計量については、等長写像を除いて一意性が成り立つ。
• コンパクトな場合、ディリクレ境界条件の下で解空間が1次元であるため、ワーピング関数はスケーリングを除いて一意である。
• 非コンパクトな場合、同じ基底と繊維を持つ複数の非等長なワーピング積アインシュタイン計量が存在する例が存在し、ワーピング関数が一意に定まらないことが示される。
• $ \partial M \neq \emptyset $ のとき、仮想アインシュタインワーピング関数の空間 $ W $ は高々1次元である。これは直接的に一意性結果を示している。
• $ m = 1 $ かつ $ \dim W > 1 $ の場合、2次形式 $ \mu(w) $ は退化し、すべての $ w \in W $ に対して $ \mu(w) = 0 $ となる。このとき、スカラー曲率は定数であり、$ (n-1)\lambda $ に等しい。
• $ m \neq 1 $ の場合、スケーリングされた形式 $ \bar{\mu}(w) = |\nabla w|^2 + \kappa w^2 $ で $ \kappa = \frac{\mathrm{scal} - (n-m)\lambda}{m(m-1)} $ と定義され、この形式の正則性と指数が決定され、$ \kappa < 0 $ のとき $ \bar{\mu} $ の指数は高々1である。