[論文レビュー] Unitarity of the time-evolution and observability of non-Hermitian Hamiltonians for time-dependent Dyson maps

F. S. Luiz, M. A. Pontes+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する非ヒルベルト型ハミルトニアンに対して、時間に依存しない計量演算子を維持することで、ユニタリな時間発展演算と観測可能性を両立させる、新たな時間に依存するダイソン写像を導出する手法を提案する。このアプローチは、非ヒルベルト型ハミルトニアンそのものを生成子として用いたシュレーディンガー型方程式を構築し、計量の時間不変性を保ちつつ時間に依存するダイソン写像を導出可能にする。これは、準ヒルベルト性および観測可能性に不可欠である。この手法は、時間に依存する非ヒルベルト型調和振動子に対して検証され、時間に依存する固有値方程式を用いてPT対称性の破れの分析に成功した。

ABSTRACT

Here we present an strategy for the derivation of a time-dependent Dyson map which ensures simultaneously the unitarity of the time evolution and the observability of a quasi-Hermitian Hamiltonian. The time-dependent Dyson map is derived through a constructed Schrödinger-like equation governed by the non-Hermitian Hamiltonian itself; despite its time-dependence our scheme ensures the time-independence of the metric operator, a necessary condition for the observability of the quasi-Hermitian Hamiltonian. As an illustrative example we consider a driven Harmonic oscillator described by a time-dependent non-Hermitian Hamiltonian. After computing the Dyson map and demonstrating the time-independence of the associated metric operator, we successfully derive an eigenvalue equation for this time-dependent Hamiltonian which enable us to analyze the $\mathcal{PT}$-symmetry breaking process.

研究の動機と目的

• 時間に依存するダイソン写像を用いる非ヒルベルト型量子系において、ユニタリな時間発展演算と観測可能性を同時に達成するという、長年の課題を解決すること。
• 時間に依存する計量演算子がユニタリ性と観測可能性を両立できるかという論争に応え、計量の時間不変性が本質的であることを示すこと。
• 時間に依存する非ヒルベルト型ハミルトニアンおよび時間に依存しない非ヒルベルト型ハミルトニアンの両方に適用可能な、一般化可能なダイソン写像の導出フレームワークを構築すること。
• 駆動された調和振動子モデルにおけるPT対称性の破れの分析を可能にする、時間に依存する固有値方程式を導出すること。

提案手法

• 非ヒルベルト型ハミルトニアンを生成子として用いたシュレーディンガー型方程式を構築し、そこから時間に依存するダイソン写像を導出する。
• ダイソン写像は時間に依存するダイソン関係式を満たす：$ h(t) = \eta(t)H(t)\eta^{-1}(t) + i[\partial_t \eta(t)]\eta^{-1}(t) $、これにより$ H(t) $がヒルベルト型$ h(t) $に変換される。
• 計量演算子$ \rho(t) $はダイソン写像から$ \rho(t) = \eta^\dagger(t)\eta(t) $として導出され、本手法は$ \eta(t) $が時間に依存しても$ \rho(t) $が時間に依存しないことを保証する。
• $ \rho(t) $の時間不変性により、準ヒルベルト性条件$ H^\dagger(t)\rho(t) - \rho(t)H(t) = i\partial_t\rho(t) $が保証され、これによりユニタリな時間発展演算と観測可能性が保証される。
• 時間に依存しないハミルトニアンに適用した場合、本手法は標準的な時間不変の非ヒルベルト型量子力学の枠組みを回復し、その一般性を検証する。
• 時間に依存する非ヒルベルト型ハミルトニアンの固有値方程式が導出され、駆動された調和振動子モデルにおけるPT対称性の破れの分析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するダイソン写像を構築する際、関連する計量演算子を時間に依存しないままに保てるか。これにより、非ヒルベルト型量子系におけるユニタリな時間発展演算と観測可能性が両立されるか。
• RQ2 制限的な時間不変仮定を課さずに、非ヒルベルト型ハミルトニアンそのものから直接時間に依存するダイソン写像を導出する方法は何か。
• RQ3 シュレーディンガー型方程式が、準ヒルベルト性の構造を保つ一貫性のあるダイソン写像を生成する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ4 提案手法が、時間に依存する非ヒルベルト型系におけるPT対称性の破れの分析をどのように可能にするか。
• RQ5 本フレームワークは、時間に依存するおよび時間に依存しない非ヒルベルト型ハミルトニアンの両方に一般化可能であり、時間不変極限において既知の結果を回復できるか。

主な発見

• 提案手法は、時間に依存するダイソン写像を効果的に導出し、その結果として時間に依存しない計量演算子を生成する。これは、準ヒルベルト型ハミルトニアンの観測可能性に必要な条件を満たす。
• 計量の時間不変性により、準ヒルベルト性関係が保証され、ユニタリな時間発展演算が保証される。これにより、時間に依存する計量に関する文献における以前の矛盾が解消される。
• 本手法は一般性を有し、時間に依存しないハミルトニアンに適用した場合、標準的な時間不変の非ヒルベルト型量子力学の枠組みを回復する。
• 駆動された調和振動子モデルでは、本手法により時間に依存する固有値方程式が導出可能となり、PT対称性の破れの分析が可能になる。
• フレームワークにより、ハミルトニアン自体が標準的意味で観測可能でない場合でも、ヒルベルト型系から非ヒルベルト型系への観測量の一貫した写像が可能になる。
• シュレーディンガー型方程式アプローチは、ダイソン写像を体系的かつ一般に構築するための方法を提供し、非ヒルベルト型系に限らず、標準的ヒルベルト型量子力学におけるユニタリ変換に対しても適用可能である。