[論文レビュー] Univariate approximations in the infinite occupancy scheme

A. D. Barbour|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Economic theories and models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限の分配スキームにおける空でない箱の数 $K_n$ および丁度 $r$ 個の玉が入った箱の数 $K_{n,r}$ の鋭い単変量近似を、平行移動されたポアソン分布を用いて開発する。固定された玉の数 $n$ を確率的に入れ替えることで、ポアソン化されたプロセスとの確率的カップリングを用いることで、合計変動距離および局所極限定理近似を、最適な $O(\sigma_n^{-2})$ のオーダーで達成する。これはホワンとジャンソン（2008年）の結果と同等の精度を達成するが、母関数解析ではなくより直接的な確率的枠組みを用いる。

ABSTRACT

The paper concerns the classical occupancy scheme with infinitely many boxes. We establish approximations to the distributions of the number of occupied boxes, and of the number of boxes containing exactly r balls, within the family of translated Poisson distributions. These are shown to be of ideal asymptotic order, with respect both to total variation distance and to the approximation of point probabilities. The proof is probabilistic, making use of a translated Poisson approximation theorem of Röllin (2005).

研究の動機と目的

• ホワンとジャンソン（2008年）が用いた解析的生成関数手法の代替として、$K_n$ および $K_{n,r}$ の点確率近似に確率的アプローチを提供すること。
• 平行移動ポアソン分布を用いて、$K_n$ および $K_{n,r}$ の合計変動距離および局所極限定理近似を確立すること。
• 最小限のモーメント条件のもとで、$O(\sigma_n^{-2})$ のオーダーで最適な近似精度を達成し、中心極限定理からの既知の境界と一致させること。
• 条件付き独立性およびモーメントバウンドを用いて、特に $K_{n,r}$ に注目した多変量割当統計へのアプローチを拡張すること。

提案手法

• ポアソン化の使用：玉の数 $n$ を固定からポアソン確率変数に置き換えることで、箱のカウントの独立性を導入する。
• 最初の $j_n$ 個の箱を除外する。ここで $p_{j_n-1} \geq 4n^{-1}\log n > p_{j_n}$ を満たすことで、これらが高確率 $1 - n^{-3}$ で占有されていることを保証する。
• 残りの箱において、元の割当プロセスとポアソン化プロセスとのカップリングを構築し、合計変動距離が $P_n = \sum_{j \geq j_n} p_j$ で有界であることを保証する。
• ローリン（2005年）の平行移動ポアソン近似定理を、残りの指標和に適用する。ここで使用する平行移動ポアソン分布 $\mathrm{TP}(\mu, \sigma^2)$ の平均は $\mu_n = \mathbb{E}K_n$、分散は $\sigma_n^2 = \mathrm{Var}\, K_n$ である。
• モーメントバウンドおよび指数モーメント不等式（補題 5.2–5.4）を用いて依存性を制御し、合計変動距離および局所確率における誤差の均一バウンドを導出する。
• 合計変動距離の誤差が $O(\sigma_n^{-1} + n^{-3} + P_n)$、局所確率における誤差が $O(\sigma_n^{-2} + n^{-3} + P_n)$ であることを示し、$P_n$ は正則変動仮定により制御される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワンとジャンソン（2008年）による $K_n$ の鋭い局所極限定理近似は、複雑な生成関数解析を避け、純粋な確率的議論によって導出可能か？
• RQ2 平行移動ポアソン分布を用いた場合、$K_n$ および $K_{n,r}$ の合計変動距離および点確率における近似の最適レートは何か？
• RQ3 固定された $n$ 個の玉によって生じる依存性は、分布の尾部で独立性を回復するために効果的に管理可能か？
• RQ4 近似誤差 $P_n = \sum_{j \geq j_n} p_j$ が $\sigma_n^{-2}$ と同じレートで減少するのはどのような条件下か？ これにより最適な精度が保証される。

主な発見

• 分布 $K_n$ とその平行移動ポアソン近似との間の合計変動距離は、$O(\sigma_n^{-1} + n^{-3} + P_n)$ で有界であり、ここで $P_n = \sum_{j \geq j_n} p_j$ である。
• 点確率 $\mathbb{P}(K_n = t)$ の局所極限定理近似誤差は $O(\sigma_n^{-2} + n^{-3} + P_n)$ であり、$\sigma_n^2 \to \infty$ の下で既知の最適レート $O(\sigma_n^{-2})$ と一致する。
• $K_{n,r}$（丁度 $r$ 個の玉が入った箱の数）に対しても、同様の近似が成り立ち、誤差レートは同一であり、多変量割当統計への結果の拡張が達成される。
• 正則変動やモーメント条件を除き、$\sigma_n^2 \to \infty$ のみを仮定することで、最適な精度を達成する。カップリングとモーメントバウンドに依存する。
• 誤差バウンドの定数は普遍的であり、$p_j$ の減衰率にのみ依存し、補題 5.2–5.4 を用いて明示的に制御可能である。
• このアプローチは他の割当統計へ一般化可能であり、無限の割当スキームにおけるレアイベントの近似に堅牢なフレームワークを提供する。