[論文レビュー] Universal compiling and (No-)Free-Lunch theorems for continuous variable quantum learning

Tyler Volkoff, Zoë Holmes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 77被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、ガウス測定とエンタングルドリソース状態を用いて、任意のユニタリ操作を学習するための普遍的で短い深さの連続変数（CV）量子コンpilingアルゴリズムを導入する。エンタングルメントが訓練データの必要数を指数的に削減できることを示すノーフリーランチ（NFL）定理を導出し、ガウスユニタリに対してエンタングルドコherent-Fock状態を用いる場合、線形の削減が達成され、一般ユニタリに対しては二モードスケーリング状態を用いることで指数的削減が可能となる。これはCV設定における量子学習効率の根本的限界を提供する。

ABSTRACT

Quantum compiling, where a parameterized quantum circuit is trained to learn a target unitary, is an important primitive for quantum computing that can be used as a subroutine to obtain optimal circuits or as a tomographic tool to study the dynamics of an experimental system. While much attention has been paid to quantum compiling on discrete variable hardware, less has been paid to compiling in the continuous variable paradigm. Here we motivate several, closely related, short depth continuous variable algorithms for quantum compilation. We analyse the trainability of our proposed cost functions and numerically demonstrate our algorithms by learning arbitrary Gaussian operations and Kerr non-linearities. We further make connections between this framework and quantum learning theory in the continuous variable setting by deriving No-Free-Lunch theorems. These generalization bounds demonstrate a linear resource reduction for learning Gaussian unitaries using entangled coherent-Fock states and an exponential resource reduction for learning arbitrary unitaries using Two-Mode-Squeezed states.

研究の動機と目的

• 連続変数（CV）量子系において、任意のターゲットユニタリを学習可能な普遍的で短い深さの量子コンパイルアルゴリズムを開発すること。
• 離散変数系と比較して、CV量子コンパイルのための体系的フレームワークの欠如に取り組むこと。
• ハール分布を用いた直交行列と純ガウス状態の共分散行列の積分を用いて、ランダムユニタリ上の期待リスクを分析することで、CV設定における量子学習の根本的限界を確立すること。
• 訓練状態におけるエンタングルメントが、学習効率の「フリーランチ」をもたらすように、必要な訓練データを劇的に削減できることを示すこと。
• NFL定理から導かれる解析的一般化境界を介して、提案されたコスト関数を量子学習理論と結びつけること。

提案手法

• ターゲットユニタリとコンパイル済ユニタリのヒルベルト＝シュミット内積に基づくコスト関数を用いた、パラメータ化されたCV回路による変分量子コンパイルフレームワークを提案する。
• 特異なプローブ状態を必要とせず、コherent状態、フォック状態、二モードスケーリング状態などのガウス測定とリソース状態を用いて、効率的な学習を可能にする。
• CV設定におけるベル状態のリコイル性を活用して、制御スワップ回路を介してユニタリの忠実度を推定するコスト関数を導入する。
• ハール分布を用いた直交行列と純ガウス状態の共分散行列の積分を用いて、ランダムユニタリ上の期待リスクを分析することで、CV学習におけるNFL定理を導出する。
• ベクトル化演算子（vec演算子）と等長性の性質を用いて、行列ノルムをベクトルノルムに変換し、直交群上での期待リスクの解析的計算を可能にする。
• 群積分技法（例：O(2m)上のハール測度）を用いて、直交行列を含む二次形式の期待値を計算し、期待リスクスケーリングの閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続変数量子系において、任意のユニタリ操作を学習可能な普遍的で短い深さの量子コンパイルアルゴリズムを開発できるか？
• RQ2 CVコンパイルのための提案されたコスト関数のトレーニング可能性は、リソース状態および測定方式の選択にどのように依存するか？
• RQ3 CVユニタリの学習における根本的限界は何か？ また、それらは訓練データ数にどのようにスケーリングするか？
• RQ4 CV設定において、未知のユニタリを学習するための必要な訓練データを、訓練状態のエンタングルメントがどの程度削減できるか？
• RQ5 導出されたNFL定理は、CV量子学習における一般化に必要な最小訓練データをどのように定量化するか？

主な発見

• 提案されたCVコンパイルアルゴリズムは、数値シミュレーションにおいて、任意の単モードガウスユニタリ、一般化ビームスプリッタ、およびケル非線形性を高い忠実度で学習できることを示した。
• ガウスユニタリを学習する場合、分離状態と比較してエンタングルドコherent-Fock状態を用いることで、訓練データの必要数が線形に削減されることが、リスク式に|S|のスケーリングを示すNFL定理によって裏付けられた。
• 任意のユニタリを学習する場合、二モードスケーリング状態を用いることで、訓練データの必要数が指数的に削減され、リスクが(D−D⁻¹)²|S|²のスケーリングを示しており、訓練データセットサイズに二次的依存があることが示された。
• ガウス訓練データに対するNFL定理の期待リスクは、D²−D⁻² / (4 log D) から|S|²に比例する補正項を除いてスケーリングする。これは、より大きな訓練データセットが一般化誤差を顕著に低減することを示している。
• NFL定理は、訓練状態におけるエンタングルメントが、リスクが|S|²に比例する一方で|S|に比例する場合と比較して、データ要件の指数的削減を可能にする「フリーランチ」を提供することを示している。
• 解析的フレームワークにより、提案されたコスト関数が量子学習理論によって正当化されていることが確認された。これは、NFL定理から導かれた最小データ要件と整合している。