[論文レビュー] Universal finite-size gap scaling of the quantum Ising chain

Masaki Oshikawa|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Quantum many-body systems参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1パラメータ族の欠陥境界条件を課した量子イジングスピン鎖における普遍的な有限サイズギャップスケーリング関数を導出し、スピンの自発的対称性の破れによって生じる非対称なギャップ行動を明らかにした。1+1次元のマヨラナフェルミオン場理論を用いて、ギャップが欠陥における束縛状態とフェルミオン数のパリティ反転によって支配されることを示し、欠陥強度と質量パラメータの空間における非自明なクロスオーバー位相図を導いた。

ABSTRACT

I study the universal finite-size scaling function for the lowest gap of the quantum Ising chain with a one-parameter family of ``defect'' boundary conditions, which includes periodic, open, and antiperiodic boundary conditions as special cases. The universal behavior can be described by the Majorana fermion field theory in $1+1$ dimensions, with the mass proportional to the deviation from the critical point. Although the field theory appears to be symmetric with respect to the inversion of the mass (Kramers-Wannier duality), the actual gap is asymmetric, reflecting the spontaneous symmetry breaking in the ordered phase which leads to the two-fold ground-state degeneracy in the thermodynamic limit. The asymptotic ground-state degeneracy in the ordered phase is realized by (i) formation of a bound state at the defect (except for the periodic/antiperiodic boundary condition) and (ii) effective reversal of the fermion number parity in one of the sectors (except for the open boundary condition), resulting in a rather nontrivial crossover ``phase'' diagram in the space of the boundary condition (defect strength) and mass.

研究の動機と目的

• 臨界点から離れた量子イジングスピン鎖における最低エネルギーギャップの普遍的有限サイズスケーリングを理解すること。
• 周期的・開放的・反周期的境界条件を一般化した欠陥境界条件がギャップスケーリングおよび低エネルギースペクトルに与える影響を分析すること。
• 1次元量子臨界定常系において、クラスマー・ワナーダルイ対称性、自発的対称性の破れ、有限サイズ効果の相乗的相互作用を解明すること。
• 欠陥強度と質量パラメータの空間における完全なクロスオーバー位相図を導出すること。これには束縛状態の出現とパリティ反転効果が含まれる。

提案手法

• 臨界点からのずれに比例する質量項を伴う1+1次元の自由マヨラナフェルミオン場理論への量子イジングスピン鎖の写像。
• 標準的境界条件の間を滑らかに補間し、非自明な散乱および束縛状態形成を可能にする1パラメータ族の欠陥境界条件の導入。
• 格子固有値方程式を再帰関係として解き、$ t \neq \Delta $ のときの束縛状態を含む、線形独立な固有状態を同定。
• 連続極限における欠陥での整合条件を適用し、透過・反射振幅を導出し、ゼロエネルギーのマヨラナモードの存在条件を特定。
• 得られた散乱振幅を用いて有限サイズエネルギーギャップを計算し、異なる境界条件において普遍的なスケーリング関数を同定。
• 場理論の対称性構造とその秩序相における破れを分析し、二重の基底状態 degeneracy および非自明なフェルミオンパリティ効果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子イジングスピン鎖における異なる欠陥境界条件の下で、有限サイズギャップスケーリング関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 場理論のクラスマー・ワナーダル双対性にもかかわらず、なぜギャップが非対称にスケーリングするのか？
• RQ3 欠陥における束縛状態およびフェルミオン数パリティ反転が低エネルギースペクトルに果たす役割は何か？
• RQ4 対称性の破れと有限サイズ効果の相乗的相互作用から、欠陥強度と質量パラメータ空間におけるクロスオーバー位相図はどのようにして生じるか？
• RQ5 どのような条件下で欠陥にマヨラナゼロモードが出現し、それらは透過振幅とどのように関係するか？

主な発見

• 有限サイズギャップスケーリングは普遍的であり、臨界点からの距離に比例する質量項を伴う1+1次元マヨラナフェルミオン場理論によって支配される。
• 場理論のクラスマー・ワナーダル双対性にもかかわらず、秩序相における自発的対称性の破れにより、実際のギャップは非対称である。
• 秩序相では、二重の基底状態デゲネラシーが (i) 欠陥における束縛状態形成（周期的／反周期的境界条件を除き）および (ii) 一方のセクターにおける有効なフェルミオンパリティ反転（開放境界を除き）によって生じる。
• 透過振幅 $ T $ が $ t\cos\phi_1 + \Delta\cos\phi_2 = 0 $ のときゼロになるため、欠陥にマヨラナゼロモードが存在することが示唆される。
• $ t \neq \Delta $ のとき、各エネルギー準位に対して4つの線形独立な固有状態が存在し、平面波を超える追加の束縛状態的モードの存在を示している。
• 欠陥強度と質量パラメータの空間において、束縛状態とパリティ効果が支配する非自明なクロスオーバー位相図を示している。