[論文レビュー] Universal quantum walks and adiabatic algorithms by 1D Hamiltonians

Bradley A. Chase, Andrew J. Landahl|ArXiv.org|Feb 8, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、8準位系（スピン7/2粒子）からなる1次元環上に作用する、時間に依存しない最近接スピン相互作用を持つハミルトニアン族を構築し、連続時間量子ウォークまたは断熱的遷移によって普遍的量子計算を実現する。主な貢献は、このような1次元系がBQP完全性を示すことを証明した点であり、それらをシミュレートすることはBQPに属するあらゆる問題を解くのと同程度の難易度であることを示している。

ABSTRACT

We construct a family of time-independent nearest-neighbor Hamiltonians coupling eight-state systems on a 1D ring that enables universal quantum computation. Hamiltonians in this family can achieve universality either by driving a continuous-time quantum walk or by terminating an adiabatic algorithm. In either case, the universality property can be understood as arising from an efficient simulation of a programmable quantum circuit. Using gadget perturbation theory, one can demonstrate the same kind of universality for related Hamiltonian families acting on qubits in 2D. Our results demonstrate that simulating 1D chains of spin-7/2 particles is BQP-hard, and indeed BQP-complete because the outputs of decision problems can be encoded in the outputs of such simulations.

研究の動機と目的

• フェインマンの元々の普遍的量子ハミルトニアンに代わる、より物理的に単純な代替案を構築すること。この元の構成では非局所的かつ多体相互作用を必要としている。
• 1次元環上に配置された8準位系に限定された最近接スピン相互作用のみを用いて、量子計算の普遍性を達成すること。
• このような1次元ハミルトニアンが連続時間量子ウォークと断熱的アルゴリズムの両方をサポートできることを示し、普遍的量子計算を実現すること。
• これらの1次元鎖のシミュレーションがBQP完全であることを確立すること。これは、量子計算の全能力を反映していることを意味する。
• これらの結果を、ギャジェット摂動理論を用いて2次元のキュービット系に一般化する可能性を検討すること。

提案手法

• 8準位系の1次元環上に、時刻レジスタとデータキュービットを用いて量子回路の時間発展を符号化する、時間に依存しない最近接スピン相互作用のハミルトニアンを設計する。
• 局所的相互作用によって時間発展するプログラマブルな時刻レジスタを用い、ゲートの適用を逐次的に制御する。
• ギャジェット摂動理論を適用して、8準位系のハミルトニアンを2次元の等価なキュービット系ハミルトニアンに写像し、普遍性を保持する。
• ハミルトニアンが量子ウォークのダイナミクスと基底状態への断熱的遷移の両方をサポートすることを保証し、最終状態が計算出力を符号化するようにする。
• ハミルトニアンを、基底状態が量子回路の出力を符号化するように構築し、断熱的計算を可能にする。
• 系のダイナミクスが普遍的量子回路を効率的にシミュレートできることを示し、普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元、時間に依存しない、最近接スピン相互作用を持つ8準位系のハミルトニアンは、量子ウォークまたは断熱的遷移によって普遍的量子計算を達成できるか？
• RQ2 このような1次元鎖のシミュレーションはBQP完全性を有するか。すなわち、BQPに属するあらゆる問題を効率的に解けるか？
• RQ3 フェインマンの元々の構成の普遍性を保ちつつ、非局所的および多体相互作用を排除できるか？
• RQ4 ギャジェット摂動理論を用いて、8準位系の1次元ハミルトニアンを2次元の等価なキュービット系ハミルトニアンに写像できるか。この際、普遍性が保持されるか？
• RQ5 時刻レジスタとデータレジスタの非局所的性質を考慮すると、構築されたハミルトニアンの基底状態問題はQMA完全性を有するか？

主な発見

• 構築されたハミルトニアン族は、1次元環上に配置された8準位系において、連続時間量子ウォークと断熱的遷移の両方を用いて普遍的量子計算を実現可能である。
• 普遍性は、プログラマブルな量子回路の効率的シミュレーションに起因し、時刻レジスタがゲートの適用順序を制御する。
• スピン7/2粒子の1次元鎖のシミュレーションがBQP完全であることが証明された。決定問題の出力がシミュレーションの結果に符号化可能である。
• ギャジェット摂動理論を用いて、同様の普遍性が2次元のキュービット系に作用する関連するハミルトニアン族に拡張され、最近接スピン相互作用および時間に依存しない構造が保持された。
• 時刻ダイナミクスを局所化し、環状トポロジーを用いることで、フェインマンの元々の構成の指数的デコherence感受性を回避した。
• 本論文では、このハミルトニアンの基底状態問題がQMA完全であると予想しているが、時刻の非局所的ダイナミクスと初期状態におけるプログラム符号化のため、標準的な証明は直接適用できない。