[論文レビュー] Universality for the largest eigenvalue of a class of sample covariance matrices

Zhigang Bao, Guangming Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平均が0で分散が1のi.i.d. 成分を持つ$X$を用いた高次元サンプル共分散行列$Σ^{1/2}XX^*Σ^{1/2}$の最大固有値に対する普遍性を確立する。グリーン関数比較法を用いて、$Σ$および$x_{ij}$の分布に対して一般な条件下で、正規化された最大固有値が複素ケースではTracy-Widom分布$Σ_2$、実スプライドケースでは$Σ_1$に弱収束することを示し、i.i.d. でない場合や非対角行列$Σ$への拡張を含む。主な貢献は、$Σ = I$のノンキャップケースを超えた普遍性の確立である。

ABSTRACT

This paper is aimed at deriving the universality of the largest eigenvalue of a class of high-dimensional real or complex sample covariance matrices of the form $\mathcal{W}_N=\Sigma^{1/2}XX^*\Sigma ^{1/2}$. Here, $X=(x_{ij})_{M,N}$ is an $M imes N$ random matrix with independent entries $x_{ij},1\leq i\leq M,1\leq j\leq N$ such that $\mathbb{E}x_{ij}=0$, $\mathbb{E}|x_{ij}|^2=1/N$. On dimensionality, we assume that $M=M(N)$ and $N/M ightarrow d\in(0,\infty)$ as $N ightarrow\infty$. For a class of general deterministic positive-definite $M imes M$ matrices $\Sigma$, under some additional assumptions on the distribution of $x_{ij}$'s, we show that the limiting behavior of the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ is universal, via pursuing a Green function comparison strategy raised in [Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 341-407, Adv. Math. 229 (2012) 1435-1515] by Erdős, Yau and Yin for Wigner matrices and extended by Pillai and Yin [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 935-1001] to sample covariance matrices in the null case ($\Sigma=I$). Consequently, in the standard complex case ($\mathbb{E}x_{ij}^2=0$), combing this universality property and the results known for Gaussian matrices obtained by El Karoui in [Ann. Probab. 35 (2007) 663-714] (nonsingular case) and Onatski in [Ann. Appl. Probab. 18 (2008) 470-490] (singular case), we show that after an appropriate normalization the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ converges weakly to the type 2 Tracy-Widom distribution $\mathrm{TW}_2$. Moreover, in the real case, we show that when $\Sigma$ is spiked with a fixed number of subcritical spikes, the type 1 Tracy-Widom limit $\mathrm{TW}_1$ holds for the normalized largest eigenvalue of $\mathcal {W}_N$, which extends a result of Feral and Peche in [J. Math. Phys. 50 (2009) 073302] to the scenario of nondiagonal $\Sigma$ and more generally distributed $X$.

研究の動機と目的

• 高次元の実または複素サンプル共分散行列のクラスについて、$\Sigma = I$のノンキャップケースを超えた最大固有値の普遍性を確立すること。
• Wigner行列に最初に開発されたグリーン関数比較法を、一般の母集団共分散$\Sigma$を持つサンプル共分散行列に拡張すること。
• $\Sigma$が固定された数の亜臨界固有値を持つスプライド状態にある場合の最大固有値の極限分布を特定すること。
• 高次元設定下でのガウス分布および非ガウス分布の両方に対するTracy-Widom極限に関する先行結果を統合・一般化すること。

提案手法

• Erdœs, Yau, and Yin (2012) が開発したグリーン関数比較戦略を、一般の$\Sigma$を持つサンプル共分散行列に適応する。
• 微分方程式の手法を用いて、サンプル共分散行列のグリーン関数と参照エンsemblesのグリーン関数を比較する。
• 固有値のバルクおよびエッジ挙動を制御するため、経験的スペクトル分布の局所法を用いる。
• 一般の$\Sigma$下での極限スペクトル分布をモデル化するために、変形されたWigner半円則を適用する。
• 非ガウス的成分を扱いながらもエッジ普遍性を保つために、Lindeberg型の置換戦略を採用する。
• 比較結果と既知のガウス行列に対するTracy-Widom極限を組み合わせることで、普遍的なエッジフラクチュエーションを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の正定値行列$\Sigma$および平均0・分散1のi.i.d. 成分を持つ$X$のもとで、$\mathcal{W}_N = \Sigma^{1/2}XX^*\Sigma^{1/2}$の最大固有値の極限分布は、依然として普遍的であるか？
• RQ2 一般の$\Sigma$のもとで、複素ケースにおける正規化された最大固有値の普遍的極限としてTracy-Widom分布$\mathrm{TW}_2$が示せるか？
• RQ3 $\Sigma$が固定された数の亜臨界固有値を持つスプライド状態にある実ケースにおいて、普遍性結果は拡張可能か？
• RQ4 グリーン関数比較法は、非i.i.d. 成分および単位行列でない$\Sigma$を持つサンプル共分散行列にどのように適応できるか？
• RQ5 一般の$\Sigma$および一般の成分分布に対して、ノンキャップケース（$\Sigma = I$）を超えてエッジ普遍性はどの程度成立するか？

主な発見

• 一般の$\Sigma$および$\mathbb{E}x_{ij}^2 = 0$を満たすi.i.d. 成分のもとで、複素ケースでは$\mathcal{W}_N$の正規化された最大固有値の極限分布が弱収束してTracy-Widom分布$\mathrm{TW}_2$に収束する。
• 実ケースでは、$\Sigma$が固定された数の亜臨界固有値を持つスプライド状態にある場合、正規化された最大固有値は弱収束して$\mathrm{TW}_1$に収束し、FeralとPéchéの結果を非対角$\Sigma$へ拡張する。
• 成分$x_{ij}$にややいなごろのモーメント条件を課す一般の決定的$\Sigma$のもとで、エッジ固有値挙動の普遍性が確立される。非ガウス分布を含む。
• グリーン関数比較法により、一般の$\Sigma$を持つサンプル共分散行列において、ガウス分布から非ガウス分布へのエッジ普遍性が成功裏に移転された。
• 収束速度や有限標本挙動は定量的に評価されていないが、$N \to \infty$、$M/N \to d \in (0,\infty)$という漸近的設定下で、Tracy-Widom分布への弱収束が証明されている。
• ガウス行列に対するEl KarouiおよびOnatskiの知見を、一般の$\Sigma$を持つ非ガウス的サンプル共分散行列の普遍的クラスへ一般化した。