[論文レビュー] Unknotting number and number of Reidemeister moves needed for unlinking

Chuichiro Hayashi, Miwa Hayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、素性数に基づく新しいリンク図の不変量 $iu(D)$ を導入し、任意のリーデマイスター移動においてその値が最大で 2 だけ変化することを示す。この不変量を用いて、特定の無限族の自明な2成分リンク図が、交差数に関して $×$ 2次関数的に多くの移動を要することを証明する。合成トーラス結び目に関する素性数の予想を仮定すると、これらの図が分離されるのにも2次関数的な移動数が必要であることが示され、リンクをほどく複雑さの下界が確立される。

ABSTRACT

Using unknotting number, we introduce a link diagram invariant of Hass and Nowik type, which changes at most by 2 under a Reidemeister move. As an application, we show that a certain infinite sequence of diagrams of the trivial two-component link need quadratic number of Reidemeister moves for being unknotted with respect to the number of crossings. Assuming a certain conjecture on unknotting numbers of a certain series of composites of torus knots, we show that the above diagrams need quadratic number of Reidemeister moves for being splitted.

研究の動機と目的

• リーデマイスター移動に対して安定な、素性数に基づく新しいリンク図不変量 $iu(D)$ を定義すること。
• 特定の自明な2成分リンクの無限族に対して、それらをほどくまたは分離するのに必要なリーデマイスター移動数の下界を確立すること。
• ハス＝ノーウィクの不変量フレームワークを、素性数の差を用いてリンクへと拡張すること。
• 合成トーラス結び目の素性数に関する予想を仮定すると、自明な2成分リンクの特定の図が $×$ 2次関数的な移動を要することを示すこと。

提案手法

• $D_p$ を交差 $p$ を滑らかにしたことで得られるリンクとし、$iu(D) = \sum_{p \in \mathcal{C}(D)} \text{sign}(p) \cdot |u(D_p) - u(L_D)|$ と定義する。
• 任意のリーデマイスター移動において $iu(D)$ が最大で 2 だけ変化することを証明し、特定の移動タイプ（例：一致する RII では最大 1）に対してはより鋭い下限を得る。
• $iu_{\epsilon,\delta}(D) = iu(D) + \epsilon(\frac{1}{2}c(D) + \delta\frac{3}{2}w(D))$ を用いて RI 移動の変化を追跡し、移動回数の下界を導出する。
• $n$ 個の負の交差と $2n-1$ 個の正の交差を持つブレード閉包によって表される、自明な2成分リンクの図 $D_n$ の族を構成する。
• $D_n$ をアンリンクにまで簡約するための RIII、RI、および一致する RII 移動の列を適用し、移動回数を数えて上界を確立する。
• $T(2,k)\sharp T(2,-k)$ および $T(2,n)\sharp T(2,-n)$ の素性数を用いて $iu(D_n)$ を計算し、$n$ に関して2次関数的に増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた自明な2成分リンク図をほどくのに必要なリーデマイスター移動の最小数は何か？
• RQ2 素性数に基づくリンク図不変量は、移動複雑さに対する有効な下界を提供できるか？
• RQ3 $iu(D)$ のリーデマイスター移動における挙動は、ハス＝ノーウィクの結び目不変量とどのように異なるか？
• RQ4 リンクを分離するのに必要な移動数が、ほどくのに必要な移動数を上回る条件は何か？
• RQ5 合成トーラス結び目の素性数を用いて、リンク図の移動複雑さの下界を導出できるか？

主な発見

• 不変量 $iu(D)$ は任意のリーデマイスター移動において最大で 2 だけ変化し、具体的には：RI および不一致する RII では 0、一致する RII では 1、RIII では 2 である。
• $7n-1$ 個の交差を持つ図 $D_n$ は $2n^2 + 3n$ 回のリーデマイスター移動でほどけるが、この上界は定数倍の範囲でタイトである。
• 不変量 $iu(D_n)$ は $2\sum_{k=1}^{n-1} u(T(2,k)\sharp T(2,-k)) + u(T(2,n)\sharp T(2,-n))$ として2次関数的に増加し、移動回数に2次下界が存在することを示唆する。
• $T(2,k)\sharp T(2,-k)$ の素性数に関する予想を仮定すると、 $D_n$ を分離するのに必要な移動数も $n$ に関して2次関数的に増加する。
• $iu_{+1,+1}(D_n)$ は writhe と交差数の影響で $3n-2$ 増加し、その増加は2次下界を支持する。
• 本稿では、 $|iu(D_1) - iu(D_2)|/2$ が $D_1$ を $D_2$ に変換するのに必要な一致する RII および RIII 移動数の下界を与えることが確立された。