[논문 리뷰] Unstable pressure and u-equilibrium states for partially hyperbolic diffeomorphsims

Huyi Hu, Weisheng Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소 불안정 다중체에서의 동역학을 통해 $ C^1 $-부분적으로 초구형 미분형사에 대한 불안정 압력 $ P^u(f,\varphi) $를 정의하고, 불안정 엔트로피와 잠재력 $ \varphi $의 적분과 연결하는 변분 원리를 수립하며, u-균형 상태를 최대화자로 특성화한다. 주요 기여는 u-균형 상태의 존재를 증명하고, 이들을 깁스 u-측도와 연결하며, 불안정 압력의 미분 가능성과 연관짓는 것이다.

ABSTRACT

Unstable pressure and u-equilibrium states are introduced and investigated for a partially hyperbolic diffeomorphsim $f$. We define the u-pressure $P^u(f, φ)$ of $f$ at a continuous function $φ$ via the dynamics of $f$ on local unstable leaves. A variational principle for unstable pressure $P^u(f, φ)$, which states that $P^u(f, φ)$ is the supremum of the sum of the unstable entropy and the integral of $φ$ taken over all invariant measures, is obtained. U-equilibrium states at which the supremum in the variational principle attains and their relation to Gibbs u-states are studied. Differentiability properties of unstable pressure, such as tangent functionals, Gateaux differentiability and Fréchet differentiability and their relations to u-equilibrium states, are also considered.

연구 동기 및 목표

• 국소 불안정 다중체에서의 동역학을 통해 $ C^1 $-부분적으로 초구형 미분형사에 대한 불안정 압력 $ P^u(f,\varphi) $를 정의한다.
• 모든 $ f $-불변 측도에 대해 $ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $ 라는 변분 원리를 수립한다.
• 변분 원리에서 최대값을 달성하는 측도인 u-균형 상태를 연구하고, 이들과 깁스 u-측도 간의 관계를 분석한다.
• 불안정 압력의 미분 가능성 성질(Gateaux, Fréchet)을 분석하고, 이들이 u-균형 상태의 유일성과 안정성, 그리고 u-균형 상태의 탄성 함수와의 관계를 규명한다.

제안 방법

• 국소 불안정 다중체를 따라 $ \varphi $-가중치의 渐近적 성장률을 통해 불안정 압력 $ P^u(f,\varphi) $를 정의한다.
• 클래식 압력에 대한 월터스의 방법과 후-화-오의 불안정 엔트로피 프레임워크를 적응하여 변분 원리를 증명한다.
• 불안정 엔트로피 사상 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $의 상부 하우스도르프 연속성을 이용하여 u-균형 상태의 존재를 보장한다.
• 측도 이론적 성질을 통해 불안정 다중체에서 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $일 때 u-균형 상태가 깁스 u-측도와 일치함을 규명한다.
• 불변 측도의 변화에 따른 수렴성을 분석하고 탄성 함수를 연구하여 $ P^u(f,\cdot) $의 미분 가능성 성질을 분석한다.
• 불안정 압력 $ P^u(f,\cdot) $의 Fréchet 미분 가능성과 u-균형 상태의 유일성, 그리고 최대화자에서의 불안정 엔트로피에 대한 균일한 통제 조건 간의 동치성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식 압력의 변분 원리와 유사하게, 불안정 압력 $ P^u(f,\varphi) $에 대해 변분 원리가 성립하는가?
• RQ2 모든 $ C^1 $-부분적으로 초구형 미분형사에 대해 u-균형 상태가 항상 존재하는가? 그리고 이는 고전적 균형 상태와 어떻게 다를까?
• RQ3 특히 잠재력 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $에 대해 u-균형 상태와 깁스 u-측도 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 불안정 압력의 미분 가능성 성질(Gateaux, Fréchet)은 u-균형 상태의 유일성과 안정성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 불안정 압력이 불변 측도를 결정할 수 있는가? 그리고 탄성 함수는 u-균형 상태를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $ C^1 $-부분적으로 초구형 미분형사에 대해 변분 원리 $ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $ 가 성립한다.
• 측도 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $의 상부 하우스도르프 연속성 덕분에, 모든 연속 잠재력 $ \varphi $에 대해 u-균형 상태가 존재한다. 이는 고전적 균형 상태와는 다름.
• 잠재력 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $에 대해 u-균형 상태는 $ f $의 깁스 u-측도와 정확히 일치한다.
• 불안정 압력 $ P^u(f,\cdot) $가 $ \varphi $에서 Fréchet 미분 가능할 조건은, $ \varphi $에서의 u-균형 상태가 유일하고, 최대화자에서 불안정 엔트로피에 대한 균일한 통제 조건을 만족할 때이다.
• u-균형 상태의 집합은 공집합이 아니며 컴acts하며, 이들의 유일성은 $ P^u(f,\cdot) $의 $ \varphi $에서의 Fréchet 미분 가능성과 동치이다.
• 만약 $ \mu_\varphi $가 유일한 u-균형 상태이면, 모든 $ \psi $에 대해 $ \varphi $의 근방에서 $ P^u(f,\psi) = h^u_{\mu_\varphi}(f) + \int_M \psi \, d\mu_\varphi $ 가 성립한다. 이는 불안정 압력의 국소 선형성을 의미한다.