[論文レビュー] Unsteady separation for the inviscid two-dimensional Prandtl's system

Charles Collot, Tej‐Eddine Ghoul+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非定常で粘性のない2次元プレッフルト系を分析し、正則解の最大存在時間の鋭い評価を導出し、特異点が境界上または渦度がゼロとなる箇所にのみ現れることを特定する。また、後退的自己相似型のための新規ラグランジュ式を導入し、任意の所定の外部オイラー流に対して、基本的ヴァン・ドンメレン＝シャン特異点が一般に出現することを証明し、非線形移流方程式における特異点の研究のための新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider the inviscid unsteady Prandtl's system in two dimensions, motivated by the fact that it should model to leading order separation for the original viscous system. We give a sharp expression for the maximal time of existence of regular solutions, showing singularities only happen at the boundary or on the set of zero vorticity. We then exhibit new Lagrangian formulae for backward self-similar profiles, and study them also on the Eulerian side with a different approach that was initiated by Elliott-Smith-Cowley and Cassel-Smith-Walker. One particular profile is the fundamental one, which at the heart of the so-called Van-Dommelen and Shen singularity, and we prove its generic appearance for any prescribed Eulerian outer flow. We comment on the connexion between these results and the full viscous Prandtl's system. This paper designs a new way to study singularities for quasilinear transport equations.

研究の動機と目的

• 非定常で粘性のない2次元プレッフルト系における正則解の最大存在時間の理解を図ること。
• 特異点の位置と性質を特定し、それが境界上または渦度がゼロとなる集合上でのみ発生することを示すこと。
• プレッフルト系における後退的自己相似型プロファイルのための新規ラグランジュ式を構築すること。
• 任意の所定の外部オイラー流に対して、基本的ヴァン・ドンメレン＝シャン特異点が一般に出現することを確立すること。
• これらの結果を完全な粘性プレッフルト系と結びつけ、非線形移流方程式における特異点の解析のための新しい手法を提供すること。

提案手法

• エネルギー推定と境界層解析を用いて、正則解の最大存在時間の鋭い表現を導出する。
• 非定常で粘性のないプレッフルト系における後退的自己相似型プロファイルを記述する新規ラグランジュ式を導入する。
• エリオット＝スミス＝カウリーおよびカセル＝スミス＝ウォーカーとは異なる手法を用い、オイラー的側でのプロファイルを分析する。
• 漸近的解析と自己相似性を用いて、ヴァン・ドンメレン＝シャン特異点の背後にある基本的プロファイルを同定する。
• 任意の所定の外部オイラー流に対してそのプロファイルが出現することを示すことにより、基本的プロファイルの一般性を確立する。
• プレッフルト系をモデルとして用いることで、非線形移流方程式における特異点の解析のための新しい分析的枠組みを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常で粘性のない2次元プレッフルト系における正則解の最大存在時間は何か？
• RQ2 この系において特異点はどこに、どのような条件下で形成されるか？
• RQ3 任意の外部オイラー流に対して、基本的ヴァン・ドンメレン＝シャン特異点が一般に出現することを示せるか？
• RQ4 この文脈において、ラグランジュ的およびオイラー的記述の自己相似型プロファイルの関係は何か？
• RQ5 この解析は、完全な粘性プレッフルト系に対してどのような洞察を提供するか？

主な発見

• 非定常で粘性のないプレッフルト系における特異点は、境界上または渦度がゼロとなる集合上でのみ発生する。
• 初期データと境界条件に依存する、正則解の最大存在時間の鋭い評価が得られた。
• 後退的自己相似型プロファイルのための新規ラグランジュ式が構築され、特異点形成の詳細な解析が可能になった。
• 任意の所定の外部オイラー流に対して、基本的ヴァン・ドンメレン＝シャンプロファイルが一般に出現することが確認され、その中心的役割が裏付けられた。
• 非線形移流方程式における特異点の解析のための新しい手法的枠組みが確立された。
• 結果として、非粘性プレッフルト系と完全な粘性系との間の関係がより明確に理解され、特に剥離ダイナミクスに関して新たな知見が得られた。