[論文レビュー] Upper bounds on the k-forcing number of a graph

David Amos, Yair Caro+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、一般化されたゼロフォースティング番号（k=1）の新しい上界をグラフのkフォースティング数について確立する。最大次数Δとグラフの位数nを用いたタイトな上界を導出し、一般のグラフに対してFₖ(G) ≤ (Δ−k+1)n / (Δ−k+1 + min{δ,k})が成り立つことを示す。k-連結グラフに対してはさらに改善された上界を得る。主な結果として、Δ ≥ 2のとき、ゼロフォースティング数Z(G) ≤ (Δ−2)n+2 / (Δ−1)が成り立つことが示され、正則な二部グラフ巡回グラフに関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

Given a simple undirected graph $G$ and a positive integer $k$, the $k$-forcing number of $G$, denoted $F_k(G)$, is the minimum number of vertices that need to be initially colored so that all vertices eventually become colored during the discrete dynamical process described by the following rule. Starting from an initial set of colored vertices and stopping when all vertices are colored: if a colored vertex has at most $k$ non-colored neighbors, then each of its non-colored neighbors becomes colored. When $k=1$, this is equivalent to the zero forcing number, usually denoted with $Z(G)$, a recently introduced invariant that gives an upper bound on the maximum nullity of a graph. In this paper, we give several upper bounds on the $k$-forcing number. Notable among these, we show that if $G$ is a graph with order $n \ge 2$ and maximum degree $Δ\ge k$, then $F_k(G) \le \frac{(Δ-k+1)n}{Δ- k + 1 +\min{\{δ,k\}}}$. This simplifies to, for the zero forcing number case of $k=1$, $Z(G)=F_1(G) \le \frac{Δn}{Δ+1}$. Moreover, when $Δ\ge 2$ and the graph is $k$-connected, we prove that $F_k(G) \leq \frac{(Δ-2)n+2}{Δ+k-2}$, which is an improvement when $k\leq 2$, and specializes to, for the zero forcing number case, $Z(G)= F_1(G) \le \frac{(Δ-2)n+2}{Δ-1}$. These results resolve a problem posed by Meyer about regular bipartite circulant graphs. Finally, we present a relationship between the $k$-forcing number and the connected $k$-domination number. As a corollary, we find that the sum of the zero forcing number and connected domination number is at most the order for connected graphs.

研究の動機と目的

• 最大次数Δとグラフの位数nを用いて、kフォースティング数Fₖ(G)のタイトな上界を確立すること。
• 正則な二部グラフ巡回グラフのゼロフォースティング数に関する未解決問題を解くこと。
• kフォースティング数と連結kドミネーション数の関係を調査すること。
• k-連結およびK₁,r-自由グラフなどの特殊なグラフ族におけるkフォースティング数の上界を導出すること。
• 導出された上界の等号成立条件を同定すること、特にゼロフォースティング数に関して。

提案手法

• 次数に基づく極値的議論と極値的グラフ構成を用いて、Fₖ(G)の上界を導出する。
• kフォースティングプロセスを適用する：色が塗られた頂点が高々k個の未色塗りの隣接頂点を持つ場合、そのすべての未色塗り隣接頂点が色塗りに変更される。
• K₁,r-自由グラフにおいて、k独立集合数αₖ(G)を用いてFₖ(G)を評価し、Fₖ₍ᵣ₋₁₎(G) ≤ n − αₖ(G)を示す。
• k-連結性などの連結性制約を課すことにより、特にk=1の場合に上界を改善する。
• 極値的グラフ理論と独立集合数の評価を用いて、タイトな不等式を導出する。
• 帰納法と木および完全グラフにおける構造的解析を用いて、上界のタイトさを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフについて、最大次数Δと位数nを用いたkフォースティング数Fₖ(G)のタイトな上界は何か？
• RQ2 Δ ≥ 2を満たすk-連結グラフにおいて、ゼロフォースティング数Z(G)はよりタイトに束縛可能か？
• RQ3 連結グラフにおいて、kフォースティング数は連結kドミネーション数とどのように関係するか？
• RQ4 F₁(G) ≤ (Δ−2)n+2 / (Δ−1) の等号成立を満たす極値的グラフは何か？
• RQ5 k独立集合数を用いて、K₁,r-自由グラフにおけるkフォースティング数を束縛可能か？

主な発見

• 任意のn ≥ 2およびΔ ≥ kを満たすグラフGについて、Fₖ(G) ≤ (Δ−k+1)n / (Δ−k+1 + min{δ,k})が成り立つ。
• k=1（ゼロフォースティング）の場合、これはZ(G) ≤ Δn / (Δ+1) に簡略化され、既知の上界を改善する。
• Δ ≥ 2を満たすk-連結グラフについて、Fₖ(G) ≤ ((Δ−2)n + 2) / (Δ + k − 2) が成り立ち、k ≤ 2の場合に従来の上界を改善する。
• ゼロフォースティング数に関しては、Z(G) ≤ ((Δ−2)n + 2) / (Δ−1) が成り立ち、K_{Δ+1}およびK_{Δ,Δ}で等号が成立する。
• δ ≥ 1を満たすK₁,r-自由グラフにおいて、Fₖ₍ᵣ₋₁₎(G) ≤ n − αₖ(G) が成り立ち、kフォースティングとk独立集合の関連を示す。
• 主な結果の系として、連結グラフにおいてゼロフォースティング数と連結ドミネーション数の和はn以下である。